10!/8!; г) 100!/99!; д) 15!/(13! 2!); е) 12!/(3! 9!)

На фото полностью читаются четыре выражения с факториалами; номер задания и соседние пункты обрезаны, поэтому решаю этот блок.

Краткий ответ: \[ \frac{10!}{8!}=90,\quad \frac{100!}{99!}=100,\quad \frac{15!}{13!\,2!}=105,\quad \frac{12!}{3!\,9!}=220. \]

Ключевые шаги. Факториал — это произведение \(n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\). Считать большие факториалы целиком не нужно: одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Общее правило при \(n>k\): \[ \frac{n!}{k!}=\frac{1\cdot2\cdots k\cdot(k+1)\cdots n}{1\cdot2\cdots k}=(k+1)(k+2)\cdots n. \]

1. \(\frac{10!}{8!}=\frac{8!\cdot9\cdot10}{8!}=9\cdot10=90\).
2. \(\frac{100!}{99!}=\frac{99!\cdot100}{99!}=100\).
3. \(\frac{15!}{13!\,2!}=\frac{13!\cdot14\cdot15}{13!\cdot2!}=\frac{14\cdot15}{2}=105\).
4. \(\frac{12!}{3!\,9!}=\frac{9!\cdot10\cdot11\cdot12}{6\cdot9!}=\frac{10\cdot11\cdot12}{6}=220\).

В похожих примерах действуйте так же: распишите больший факториал до меньшего и сократите одинаковые множители.

Проверка. Если умножить ответ обратно, получаются исходные факториалы: \(90\cdot8!=10!\), \(105\cdot13!\cdot2!=15!\), \(220\cdot3!\cdot9!=12!\). Значит, сокращения выполнены верно.

Последние две дроби — это числа сочетаний: \(\frac{15!}{13!2!}=C_{15}^{2}\), \(\frac{12!}{3!9!}=C_{12}^{3}\).