11.1

11.1. Дәрежелерді көпмүше түрінде жазамыз:

1. \[ (x+a)^5=x^5+5x^4a+10x^3a^2+10x^2a^3+5xa^4+a^5. \]

2. \[ (3x+2a)^6=729x^6+2916x^5a+4860x^4a^2+4320x^3a^3+2160x^2a^4+576xa^5+64a^6. \]

3. \[ (3x-a)^5=243x^5-405x^4a+270x^3a^2-90x^2a^3+15xa^4-a^5. \]

2-ші пункт қоршалған, сондықтан оны қалай шығару керектігін толық көрсетемін.

Негізгі қадамдар

Ньютон биномының жалпы формуласы: \[ (u+v)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k\,u^{\,n-k}v^{\,k}, \qquad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Мұнда \(n\) — дәреже, \(k\) — мүшенің нөмірі (0-ден бастап). Әр мүшеде \(u\)-дың дәрежесі кемиді, \(v\)-ның дәрежесі артады, ал олардың қосындысы әрқашан \(n\)-ге тең: \[ (n-k)+k=n. \]

2-ші пунктте \(u=3x\), \(v=2a\), \(n=6\). Биномиалды коэффициенттер: \[ 1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1. \] Олар Паскаль үшбұрышының 6-шы жолынан да шығады.

Әр мүшенің коэффициенті мына формуламен есептеледі: \[ C_6^k\cdot 3^{\,6-k}\cdot 2^{\,k}. \] Мысалы: \[ k=1:\quad 6\cdot 3^5\cdot 2=2916, \] \[ k=2:\quad 15\cdot 3^4\cdot 2^2=4860. \] Осылай барлық жеті мүшені аламыз.

3-ші пунктте \[ (3x-a)^5=(3x+(-a))^5, \] сондықтан таңбалар кезектесіп ауысады: \(+,-,+,-,+,-\). Ал \(n=5\) үшін коэффициенттер: \[ 1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1. \]

Тексеру

\(x=a=1\) деп қойып, екі жақты салыстыруға болады:

1. \((1+1)^5=32\), ал қосынды \(1+5+10+10+5+1=32\);

2. \((3+2)^6=5^6=15625\), ал қосынды \(729+2916+4860+4320+2160+576+64=15625\);

3. \((3-1)^5=2^5=32\), ал қосынды \(243-405+270-90+15-1=32\).

Бұл жіктеулердің дұрыс екенін растайды.