367. Найдите корни уравнения: а) 1/(x² − 6x + 8) − 1/(x − 2) + 10/(x² − 4) = 0; б) 3/(x² − x − 6) + 3/(x + 2) = 7/(x² − 9).

Краткий ответ

а) \(x=3\) и \(x=10\);

б) \(x=4\) и \(x=-\dfrac{8}{3}\).

В чём принцип

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Поэтому любое такое уравнение решается по одной схеме:

1. разложить все знаменатели на множители;
2. выписать ОДЗ — значения \(x\), при которых знаменатели обращаются в ноль;
3. умножить обе части на общий знаменатель (он уже не равен нулю при допустимых \(x\));
4. решить уравнение, оставшееся в числителе;
5. выбросить корни, попавшие в ОДЗ-запреты. Это и есть отбор, а не «проверка ради галочки».

а) \(\dfrac{1}{x^2-6x+8}-\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{10}{x^2-4}=0\)

Раскладываем: \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\), \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). ОДЗ: \(x\ne 2;\ 4;\ -2\).

Общий знаменатель \((x-2)(x-4)(x+2)\). Умножаем и получаем уравнение из числителей:

\[(x+2)-(x-4)(x+2)+10(x-4)=0\]

\[x+2-(x^2-2x-8)+10x-40=0\]

\[-x^2+13x-30=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2-13x+30=0\]

По теореме Виета \(x_1+x_2=13\), \(x_1x_2=30\), значит \(x=3\) и \(x=10\). Ни один не совпал с \(2\), \(4\), \(-2\).

Проверка для \(x=3\): \(-\frac{1}{1}-1+\frac{10}{5}=-1-1+2=0\). Верно.

б) \(\dfrac{3}{x^2-x-6}+\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{7}{x^2-9}\)

Раскладываем: \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\), \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). ОДЗ: \(x\ne 3;\ -2;\ -3\).

Общий знаменатель \((x-3)(x+2)(x+3)\). Умножаем:

\[3(x+3)+3(x-3)(x+3)=7(x+2)\]

\[3x+9+3x^2-27=7x+14\]

\[3x^2-4x-32=0\]

\[D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-32)=16+384=400,\quad \sqrt{D}=20\]

\[x_{1,2}=\frac{4\pm 20}{6};\qquad x_1=4,\quad x_2=-\frac{8}{3}\]

Оба значения допустимы.

Проверка для \(x=4\): \(\frac{3}{6}+\frac{3}{6}=1\) и \(\frac{7}{7}=1\). Верно.

Вывод: одинаковые шаги в обоих пунктах — разложение, ОДЗ, общий знаменатель, числитель, отбор.

Задание 368 на фото обрезано — если оно тоже нужно, пришли его целиком.