1098 Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения 0,3; 1/3; -1/3; 1 2/3; -2,8?

Краткий ответ

а) \(0{,}3\) — да; \(\frac{1}{3}\) — да; \(-\frac{1}{3}\) — да; \(1\frac{2}{3}\) — нет; \(-2{,}8\) — нет.

б) \(0{,}6\) — да; \(\frac{1}{7}\) — да; \(-0{,}3\) — нет; \(7\) — нет; \(1{,}002\) — нет.

Почему так

Для единичной полуокружности из этой темы — верхней половины единичной окружности — координаты точки \((x;y)\) удовлетворяют условиям:

\[ x^2+y^2=1,\qquad -1\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1. \]

То есть абсцисса может быть любой от \(-1\) до \(1\), а ордината — только от \(0\) до \(1\). Любое такое значение действительно достижимо: например, по \(x\) можно найти \(y=\sqrt{1-x^2}\), а по \(y\) — \(x=\pm\sqrt{1-y^2}\).

Проверяем:

• Для абсциссы: \(0{,}3\), \(\frac13\), \(-\frac13\) входят в \([-1;1]\), значит, подходят. А \(1\frac23>1\) и \(-2{,}8<-1\) — не подходят.
• Для ординаты: \(0{,}6\) и \(\frac17\) входят в \([0;1]\), значит, подходят. А \(-0{,}3<0\), \(7>1\), \(1{,}002>1\) — не подходят.

Отдельно важно: отрицательная ордината была бы возможна на нижней полуокружности, но не на верхней.