реши все
Сверь числа и знаки с фото.
Задачи 1098 Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения \(0{,}3; \frac{1}{3}; -\frac{1}{3}; 1{,}2; -2{,}8\)? б) Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения \(0{,}6; \frac{1}{7}; -0{,}3; 7; 1{,}002\)? Ответы обоснуйте. 1099 Проверьте, что точки \(M_1(0;1)\), \(M_2\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(M_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \(M_4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)\), \(A(1;0)\), \(B(-1;0)\) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов \(AOM_1\), \(AOM_2\), \(AOM_3\), \(AOM_4\), \(AOB\). 1100 Найдите \(\sin\alpha\), если: а) \(\cos\alpha=\frac{1}{2}\); б) \(\cos\alpha=-\frac{2}{3}\); в) \(\cos\alpha=-1\). 1101 Найдите \(\cos\alpha\), если: а) \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\); б) \(\sin\alpha=\frac{1}{4}\); в) \(\sin\alpha=0\). 1102 Найдите \(\operatorname{tg}\alpha\), если: а) \(\cos\alpha=1\); б) \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\); в) \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(0^\circ<\alpha<90^\circ\); г) \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) и \(90^\circ<\alpha<180^\circ\). 1103 Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов \(120^\circ\), \(135^\circ\), \(150^\circ\). 1104 Постройте \(\angle A\), если: а) \(\sin A=\frac{2}{3}\); б) \(\cos A=\frac{3}{4}\); в) \(\cos A=-\frac{2}{5}\). 1105 Угол между лучом \(OA\), пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью \(Ox\) равен \(\alpha\). Найдите координаты точки \(A\), если: а) \(OA=3\), \(\alpha=45^\circ\); б) \(OA=1{,}5\), \(\alpha=90^\circ\); в) \(OA=5\), \(\alpha=150^\circ\); г) \(OA=1\), \(\alpha=180^\circ\); д) \(OA=2\), \(\alpha=30^\circ\). 1106 Найдите угол между лучом \(OA\) и положительной полуосью \(Ox\), если точка \(A\) имеет координаты: а) \((2;2)\); б) \((0;3)\); в) \((-\sqrt{3};1)\); г) \((-2\sqrt{2};2\sqrt{2})\).
Все номера этой страницы опираются на единичную полуокружность: для её точки \(M(x;y)\)
\[ x^2+y^2=1,\qquad y\ge 0,\qquad \cos\alpha=x,\quad \sin\alpha=y,\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}. \]
Тангенс существует только при \(x\ne0\).
1098. а) Абсцисса может меняться от \(-1\) до \(1\), поэтому: \(0{,}3\) — да; \(\frac13\) — да; \(-\frac13\) — да; \(1{,}2\) — нет; \(-2{,}8\) — нет.
б) Ордината единичной полуокружности лежит от \(0\) до \(1\), поэтому: \(0{,}6\) — да; \(\frac17\) — да; \(-0{,}3\) — нет; \(7\) — нет; \(1{,}002\) — нет.
1099. Все точки лежат на полуокружности, так как сумма квадратов координат каждой равна \(1\), а ординаты неотрицательны. Например: \[ \left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1. \]
| Угол | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\operatorname{tg}\) |
|---|---|---|---|
| \(AOM_1=90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | не существует |
| \(AOM_2=60^\circ\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac12\) | \(\sqrt3\) |
| \(AOM_3=45^\circ\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) |
| \(AOM_4=150^\circ\) | \(\frac12\) | \(-\frac{\sqrt3}{2}\) | \(-\frac{\sqrt3}{3}\) |
| \(AOB=180^\circ\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
1100. Здесь \(0^\circ\le\alpha\le180^\circ\), поэтому \(\sin\alpha\ge0\).
а) \(\cos\alpha=\frac12\). Тогда \[ \sin\alpha=\sqrt{1-\frac14}=\frac{\sqrt3}{2}. \]
б) \(\cos\alpha=-\frac23\): \[ \sin\alpha=\sqrt{1-\frac49}=\frac{\sqrt5}{3}. \]
в) \(\cos\alpha=-1\). Значит, \(\alpha=180^\circ\), поэтому \[ \sin\alpha=0. \]
1101. По синусу знак косинуса не определяется: \[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}. \]
а) \(\cos\alpha=\pm\frac12\).
б) \(\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}\).
в) \(\cos\alpha=\pm1\).
Если в задании подразумевается только острый угол, берём знак «+».
1102. а) \(\cos\alpha=1\). Тогда \(\sin\alpha=0\), поэтому \[ \operatorname{tg}\alpha=0. \]
б) \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}\). Тогда \(\sin\alpha=\frac12\), и \[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac1{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}. \]
в) \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), \(\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\). Угол острый, поэтому \[ \cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \operatorname{tg}\alpha=1. \]
г) \(90^\circ<\alpha<180^\circ\), \(\sin\alpha=\frac35\). Косинус отрицателен: \[ \cos\alpha=-\sqrt{1-\frac9{25}}=-\frac45, \] \[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac35}{-\frac45}=-\frac34. \]
1103.
| Угол | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\operatorname{tg}\) |
|---|---|---|---|
| \(120^\circ\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(-\frac12\) | \(-\sqrt3\) |
| \(135^\circ\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(-1\) |
| \(150^\circ\) | \(\frac12\) | \(-\frac{\sqrt3}{2}\) | \(-\frac{\sqrt3}{3}\) |
1104. Строим единичную полуокружность и луч из начала координат в нужную точку.
а) \(\sin A=\frac23\). Берём \(y=\frac23\), тогда \[ x=\pm\sqrt{1-\frac49}=\pm\frac{\sqrt5}{3}. \] Возможны два угла: примерно \(41{,}8^\circ\) и \(138{,}2^\circ\). Если нужен острый угол, берём \(x=+\frac{\sqrt5}{3}\).
б) \(\cos A=\frac34\). Берём \(x=\frac34\), тогда \[ y=\sqrt{1-\frac9{16}}=\frac{\sqrt7}{4}. \] Угол примерно \(41{,}4^\circ\).
в) \(\cos A=-\frac25\). Берём \(x=-\frac25\), тогда \[ y=\sqrt{1-\frac4{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}. \] Угол примерно \(113{,}6^\circ\).
1105. Координаты точки на луче: \[ x=OA\cos\alpha,\qquad y=OA\sin\alpha. \]
а) \(OA=3,\ \alpha=45^\circ\): \[ A\left(\frac{3\sqrt2}{2};\frac{3\sqrt2}{2}\right). \]
б) \(OA=1{,}5,\ \alpha=90^\circ\): \[ A(0;1{,}5). \]
в) \(OA=5,\ \alpha=150^\circ\): \[ A\left(-\frac{5\sqrt3}{2};\frac52\right). \]
г) \(OA=1,\ \alpha=180^\circ\): \[ A(-1;0). \]
д) \(OA=2,\ \alpha=30^\circ\): \[ A(\sqrt3;1). \]
1106. Угол ищем от положительной полуоси \(Ox\) против часовой стрелки, в пределах \(0^\circ\)–\(180^\circ\).
а) \(A(2;2)\): угол \(45^\circ\).
б) \(A(0;3)\): угол \(90^\circ\).
в) \(A(-\sqrt3;1)\): это вторая четверть, \[ \cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\alpha=\frac12, \] поэтому \(\alpha=150^\circ\).
г) \(A(-2\sqrt2;2\sqrt2)\): вторая четверть, \(|x|=|y|\), поэтому \[ \alpha=135^\circ. \]
Проверка. Во всех тригонометрических пунктах выполняется \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), а тангенс равен \(\sin\alpha/\cos\alpha\). Например, для \(150^\circ\): \[ \left(\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 =\frac14+\frac34=1. \]
