2. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Верно ли, что при любом значении a (a > 0, a ≠ 1) график показательной функции $y=a^x$ проходит через точку $A(0;1)$?

2. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что:
а) $\left(\frac{5}{7}\right)^{7,8}>\left(\frac{5}{7}\right)^{9,2}$;
б) $1,2^{4,6}>1,2^{3,4}$?
2.4. Из данных функций выберите все показательные функции:
а) $y=x^4$;
б) $y=\sqrt{x-5}$;
в) $y=\frac{8}{x}$;
г) $y=5^x$;
д) $y=2x$;
е) $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$.
2.5. Показательная функция задана формулой $f(x)=5^x$. Найдите:
а) $f(1)$;
б) $f(3)$;
в) $f(0)$;
г) $f(-1)$;
д) $f\left(\frac{1}{2}\right)$;
е) $f(\log_5 7)$.
2.6. Известно, что $g(x)=0,25^x$. Сравните значения выражений:
а) $g(-2)$ и $3g(0)$;
б) $g(1)+g(-3)$ и $g(\log_4 3)$.

Answer

На фото несколько заданий, поэтому ниже — решения для всех полностью видимых: 1, 2, 2.4–2.6. Краткие ответы 1. Да. 2. а) $\left(\frac57\right)^{7,8}>\left(\frac57\right)^{9,2}$; б) $1,2^{4,6}>1,2^{3,4}$. 2.4. г) $y=5^x$, е) $y=\left(\frac12\right)^x$. 2.5. а) $5$; б) $125$; в) $1$; г) $\frac15$; д) $\sqrt5$; е) $7$. 2.6. а) $g(-2)>3g(0)$; б) $g(1)+g(-3)>g(\log_4 3)$. Как это получается 1. При $x=0$: $$ y=a^0=1 $$ для любого допустимого $a>0,\ a\ne1$. Поэтому график всегда проходит через точку $A(0;1)$. 2. Используется свойство монотонности показательной функции: если $01$, то $y=a^x$ возрастает. В пункте а) $0<\frac57<1$, а $7,8<9,2$, поэтому значение с меньшим показателем больше. В пункте б) $1,2>1$, а $4,6>3,4$, поэтому значение с большим показателем больше. 2.4. Показательная функция имеет вид $y=a^x$, где $a>0,\ a\ne1$, то есть переменная стоит в показателе степени. Подходят только: $$ y=5^x,\qquad y=\left(\frac12\right)^x. $$ 2.5. Подставляем значения в $f(x)=5^x$: $$ f(1)=5,\quad f(3)=5^3=125,\quad f(0)=5^0=1, $$ $$ f(-1)=5^{-1}=\frac15,\quad f\left(\frac12\right)=5^{1/2}=\sqrt5. $$ Для последнего пункта используем основное логарифмическое тождество: $$ f(\log_5 7)=5^{\log_5 7}=7. $$ 2.6. Так как $0{,}25=\frac14=4^{-1}$, то $$ g(-2)=\left(\frac14\right)^{-2}=4^2=16, $$ $$ 3g(0)=3\cdot\left(\frac14\right)^0=3\cdot1=3. $$ Значит, $$ g(-2)>3g(0). $$ Для пункта б): $$ g(1)+g(-3)=\frac14+64=\frac{257}{4}=64{,}25, $$ $$ g(\log_4 3)=\left(\frac14\right)^{\log_4 3} =4^{-\log_4 3}=\frac13. $$ Поэтому $$ g(1)+g(-3)>g(\log_4 3). $$