Вариант 5. 1. Дайте определение средней линии треугольника. 2. Сформулируйте свойство средней линии трапеции.

Краткие ответы

1. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
2. Свойство средней линии трапеции: она параллельна основаниям и равна их полусумме.
3. \(AB = 11\) см.
4. Средняя линия равна \(10\) см (высота \(5\) см — лишнее данное).
5. Меньший отрезок равен \(5{,}5\).

Ключевые шаги

№ 3. Точки \(A\) и \(B\) — середины сторон \(KL\) и \(LM\), значит \(AB\) соединяет середины двух сторон треугольника \(KLM\), то есть является его средней линией. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине:

\[ AB=\frac{KM}{2}=\frac{22}{2}=11\ \text{см} \]

Проверка: третья сторона здесь именно \(KM\) (она не содержит точек \(A\) и \(B\)), поэтому делим на 2 именно \(22\).

№ 4. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[ m=\frac{7+13}{2}=\frac{20}{2}=10\ \text{см} \]

Высота в эту формулу не входит — она понадобилась бы для площади (\(S=mh\)), а не для средней линии.

№ 5. Пусть основания \(AD=19\), \(BC=11\), \(MN\) — средняя линия, диагональ \(AC\) пересекает её в точке \(P\).

• \(MP\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(MP=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{11}{2}=5{,}5\).
• \(PN\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \(PN=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{19}{2}=9{,}5\).

Меньший отрезок — \(5{,}5\).

Проверка: \(5{,}5+9{,}5=15=\dfrac{11+19}{2}\) — сумма совпала со всей средней линией. Если взять другую диагональ, получатся те же числа \(5{,}5\) и \(9{,}5\), так что ответ от выбора диагонали не зависит.

Общий принцип: средняя линия треугольника «отрезает» половину параллельной ей стороны, а средняя линия трапеции — это «усреднение» двух оснований. Любая диагональ трапеции разрезает её среднюю линию на две средние линии треугольников, поэтому отрезки равны половинам оснований.