задача 15и16

Свойство высоты равнобедренного треугольника

Утверждение. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AB\) (\(AC=BC\)) высота \(CD\), проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой:

\[ AD=DB,\qquad \angle ACD=\angle BCD. \]

Доказательство

1. Так как \(AC=BC\), треугольник равнобедренный, значит, углы при основании равны:

\[ \angle A=\angle B . \]

2. В прямоугольных треугольниках \(ACD\) и \(BCD\) углы при вершине \(D\) прямые: \(\angle ADC=\angle BDC=90^\circ\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\), поэтому

\[ \angle ACD=90^\circ-\angle A,\qquad \angle BCD=90^\circ-\angle B . \]

Из \(\angle A=\angle B\) следует

\[ \angle ACD=\angle BCD . \]

То есть отрезок \(CD\) делит угол \(C\) пополам — это биссектриса.

3. Рассмотрим треугольники \(ACD\) и \(BCD\). У них:

• \(CD\) — общая сторона;
• \(\angle ACD=\angle BCD\) (доказано в п. 2);
• \(\angle ADC=\angle BDC=90^\circ\).

Значит, \(\triangle ACD=\triangle BCD\) по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих к ней угла).

4. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому

\[ AD=DB . \]

Значит, \(CD\) делит основание пополам — это медиана.

Вывод. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является медианой и биссектрисой (все три отрезка совпадают — это одна и та же прямая).

Второй способ (коротко, «через симметрию»)

Пусть \(M\) — середина \(AB\). Тогда \(\triangle ACM=\triangle BCM\) по трём сторонам: \(AC=BC\), \(AM=MB\), \(CM\) — общая. Отсюда \(\angle ACM=\angle BCM\) и \(\angle AMC=\angle BMC\). Но эти два угла смежные, их сумма \(180^\circ\), а раз они равны — каждый по \(90^\circ\), то есть \(CM\perp AB\). Поскольку перпендикуляр из точки \(C\) к прямой \(AB\) единствен, высота \(CD\) совпадает с \(CM\).

Зачем это было нужно в №15–16

Именно из этого свойства следует, что высота к основанию делит его пополам:

\[ AD=DB=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5, \]

и дальше в прямоугольном треугольнике \(ACD\) можно считать \(\operatorname{tg}A=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{8}{5}\). В №15 это свойство тоже работает: \(CD\perp AB\) и \(D\) — середина \(AB\), поэтому треугольник \(ACD\) прямоугольный с гипотенузой \(AC=6\).

Как выполнить №15 и №16

Оба номера решаются по одной схеме: равнобедренный треугольник → высота к основанию → прямоугольный треугольник → формула синуса/тангенса.

Общий план действий

1. Начерти треугольник \(ABC\), где \(AC=BC\) — боковые стороны, \(AB\) — основание.
2. Проведи высоту \(CD\) из вершины \(C\) к основанию \(AB\). Отметь прямой угол при \(D\).
3. Пользуйся свойством: высота к основанию равнобедренного треугольника делит основание пополам, то есть \(AD=DB=\dfrac{AB}{2}\).
4. В прямоугольном треугольнике \(ACD\) найди нужные элементы и подставь в формулу:
   • \(\sin A=\dfrac{CD}{AC}\) — противолежащий катет делим на гипотенузу;
   • \(\operatorname{tg}A=\dfrac{CD}{AD}\) — противолежащий катет делим на прилежащий.

№15 (дано \(AC=BC=6\), высота \(CD=4\), найти \(\sin A\))

Шаг 1. Высота \(CD\) перпендикулярна \(AB\), поэтому треугольник \(ACD\) прямоугольный с гипотенузой \(AC\).

Шаг 2. Для угла \(A\) в треугольнике \(ACD\):

• противолежащий катет — \(CD=4\);
• гипотенуза — \(AC=6\).

Шаг 3. Подставляем:

\[ \sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \]

Ответ: \(\sin A=\dfrac{2}{3}\).

№16 (дано \(AB=10\), высота \(CD=8\), найти \(\operatorname{tg}A\))

Шаг 1. Высота к основанию — медиана, значит:

\[ AD=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5. \]

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике \(ACD\) для угла \(A\):

• противолежащий катет — \(CD=8\);
• прилежащий катет — \(AD=5\).

Шаг 3. Подставляем:

\[ \operatorname{tg}A=\frac{CD}{AD}=\frac{8}{5}. \]

Ответ: \(\operatorname{tg}A=\dfrac{8}{5}\), то есть \(1{,}6\).

Что проверять после решения

• Прямой угол должен быть именно при \(D\), а гипотенуза — боковая сторона \(AC\) (в №15).
• В №15 основание \(AB\) не понадобилось: для синуса достаточно \(CD\) и \(AC\).
• В №16 сначала обязательно находим \(AD=5\) — без деления основания пополам тангенс не посчитать.
• Ответ можно оставить дробью; переводить в десятичную дробь необязательно \(\left(\operatorname{tg}A=1{,}6\right)\).

Что рисовать

Квадрат не нужен — в обеих задачах речь о равнобедренном треугольнике с высотой к основанию. Достаточно одного рисунка-заготовки: треугольник \(ABC\) с боковыми сторонами \(AC=BC\) и высотой \(CD\) к основанию \(AB\). Квадрат (прямоугольник) появляется только как «прямой угол» — его отмечают квадратиком при точке \(D\).

Рисунок к №15

            C
           /|\
       6  / | \  6
         /  |4 \
        /   |   \
       A----D----B

Подпиши: \(AC=BC=6\), \(CD=4\), в точке \(D\) поставь квадратик — знак прямого угла. Основание \(AB\) можно не подписывать: оно в решении не участвует.

Рисунок к №16

            C
           /|\
          / | \   ← боковые стороны AC = BC (не даны, искать не нужно)
         /  |8 \
        /   |   \
       A----D----B
            5   5

Подпиши: \(AB=10\), \(CD=8\), а на основании — \(AD=5\) и \(DB=5\) (по свойству высоты равнобедренного треугольника). Квадратик при \(D\) обязателен.

Как оформить в тетради

Пиши по схеме: Дано — Найти — Решение — Ответ.

№15

Дано: \(\triangle ABC\), \(AC=BC=6\), \(CD\perp AB\), \(CD=4\). Найти: \(\sin A\).

Решение.

1. \(CD\perp AB\), значит \(\triangle ACD\) прямоугольный, \(AC\) — гипотенуза.
2. Для угла \(A\) катет \(CD\) противолежащий: \[ \sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}. \]

Ответ: \(\sin A=\dfrac{2}{3}\).

№16

Дано: \(\triangle ABC\), \(AC=BC\), \(AB=10\), \(CD\perp AB\), \(CD=8\). Найти: \(\operatorname{tg}A\).

Решение.

1. Высота к основанию равнобедренного треугольника — медиана, поэтому \[ AD=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5. \]
2. \(\triangle ACD\) прямоугольный, для угла \(A\): \[ \operatorname{tg}A=\frac{CD}{AD}=\frac{8}{5}=1{,}6. \]

Ответ: \(\operatorname{tg}A=\dfrac{8}{5}\) (или \(1{,}6\)).

Если требуют чертёж «по-настоящему»

• Рисуй простым карандашом, стороны треугольника — примерно равной длины (он равнобедренный, поэтому «ножки» одинаковые).
• Высота должна идти строго вертикально и попадать в середину основания — тогда рисунок сразу отражает свойство медианы.
• Прямой угол отмечай маленьким квадратиком, а не дугой: дуга — это угол треугольника, квадратик — \(90^\circ\).
• Подписи \(AC\), \(CD\) и числа ставь рядом с отрезками, чтобы было видно, какая величина к какой стороне относится.