Номер 1057

Кратко: \[ BE=\frac b2,\qquad AE=\frac{b\sqrt3}{2},\qquad EC=\frac{b(2-\sqrt3)}2, \] \[ AD=\frac{b(\sqrt6+\sqrt2)}4,\qquad BC=\frac{b(\sqrt6-\sqrt2)}2=b\sqrt{2-\sqrt3}. \]

Как это получить

1. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) углы при основании равны: \[ \angle B=\angle C=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ. \]

2. Найдём высоту \(BE\). Треугольник \(ABE\) прямоугольный, \(AB=b\), а \(\angle BAE=30^\circ\), потому что \(AE\) лежит на стороне \(AC\). Значит: \[ BE=AB\sin30^\circ=\frac b2, \] \[ AE=AB\cos30^\circ=\frac{b\sqrt3}{2}. \]

3. Тогда \[ EC=AC-AE=b-\frac{b\sqrt3}{2} =\frac{b(2-\sqrt3)}2. \]

4. Высота \(AD\) в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Поэтому: \[ \angle BAD=15^\circ,\qquad BD=\frac{BC}{2}. \]

В прямоугольном треугольнике \(ABD\): \[ AD=AB\cos15^\circ =b\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \] \[ BD=AB\sin15^\circ =b\cdot\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \] Следовательно, \[ BC=2BD =\frac{b(\sqrt6-\sqrt2)}2 =b\sqrt{2-\sqrt3}. \]

Проверка по площади: \[ S=\frac12 b^2\sin30^\circ=\frac{b^2}{4}, \] и с другой стороны, \[ S=\frac12\cdot AC\cdot BE =\frac12\cdot b\cdot\frac b2=\frac{b^2}{4}. \] Всё сходится.