1062 □ В треугольнике DEF DE = 4,5 дм, EF = 9,9 дм, DF = 70 см. Найдите углы треугольника.

Краткий ответ:

Сначала переведём длины в одни единицы: \[ DE=45\ \mathrm{см},\qquad EF=99\ \mathrm{см},\qquad DF=70\ \mathrm{см}. \]

\[ \angle D\approx117{,}16^\circ,\qquad \angle E\approx38{,}98^\circ,\qquad \angle F\approx23{,}85^\circ. \]

До минут: \[ \angle D\approx117^\circ10',\quad \angle E\approx38^\circ59',\quad \angle F\approx23^\circ51'. \]

До целых градусов: \[ \angle D\approx117^\circ,\quad \angle E\approx39^\circ,\quad \angle F\approx24^\circ. \]

Как это получить

Все три стороны треугольника известны, поэтому используем теорему косинусов: \[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, \] где \(a\) — сторона, лежащая против угла \(A\).

Угол \(D\):
Против угла \(D\) лежит сторона \(EF=99\) см, а соседние стороны — \(DE=45\) см и \(DF=70\) см. \[ \cos D= \frac{45^2+70^2-99^2}{2\cdot45\cdot70} = \frac{2025+4900-9801}{6300} = -\frac{2876}{6300} \approx -0{,}4565. \] \[ \angle D=\arccos(-0{,}4565)\approx117{,}16^\circ. \]

Косинус отрицательный, значит, угол \(D\) тупой — так и должно быть, ведь против него лежит самая большая сторона \(99\) см.

Угол \(E\):
Против угла \(E\) лежит сторона \(DF=70\) см. \[ \cos E= \frac{45^2+99^2-70^2}{2\cdot45\cdot99} = \frac{2025+9801-4900}{8910} = \frac{6926}{8910} \approx0{,}7773. \] \[ \angle E=\arccos(0{,}7773)\approx38{,}98^\circ. \]

Угол \(F\):
Против угла \(F\) лежит сторона \(DE=45\) см. \[ \cos F= \frac{70^2+99^2-45^2}{2\cdot70\cdot99} = \frac{4900+9801-2025}{13860} = \frac{12676}{13860} \approx0{,}9146. \] \[ \angle F=\arccos(0{,}9146)\approx23{,}85^\circ. \]

Проверка: \[ 117{,}16^\circ+38{,}98^\circ+23{,}85^\circ\approx179{,}99^\circ\approx180^\circ. \] Сумма углов треугольника получилась \(180^\circ\), значит, вычисления верны.

Можно запомнить принцип: при трёх известных сторонах удобнее всего находить углы через теорему косинусов. При этом против большей стороны всегда лежит больший угол.