2.33. Показательная функция задана формулой f(x) = 2^x. Найдите: а) f(1); б) f(5); в) f(0); г) f(-1); д) f(-3); е) f(1/2); ж) f(log2 5); з) f(log0,5 3).
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
2.33. Показательная функция задана формулой \(f(x) = 2^{x}\). Найдите: а) \(f(1)\); б) \(f(5)\); в) \(f(0)\); г) \(f(-1)\); д) \(f(-3)\); е) \(f\left(\frac{1}{2}\right)\); ж) \(f(\log_{2} 5)\); з) \(f(\log_{0,5} 3)\).
2.34. Известно, что \(g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}\). Сравните значения выражений: а) \(g(4)\) и \(7g(0)\); б) \(g(-1) + g(-2)\) и \(g(\log_{3} 2)\).
Краткий ответ
2.33 (\(f(x)=2^x\)): а) \(2\); б) \(32\); в) \(1\); г) \(0{,}5\); д) \(0{,}125\); е) \(\sqrt{2}\approx 1{,}414\); ж) \(5\); з) \(\frac{1}{3}\).
2.34 (\(g(x)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^x\)): а) \(g(4) < 7g(0)\); б) \(g(-1)+g(-2) > g(\log_3 2)\).
2.33. Как это устроено
Главная идея: чтобы найти \(f(\text{число})\), надо просто подставить это число вместо \(x\) в формулу \(2^x\). Трудности возникают только с «неудобными» показателями — их убирают свойствами степеней.
Правила, которые здесь работают:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \qquad a^{1/n}=\sqrt[n]{a}, \qquad a^{\log_a b}=b, \qquad \log_{1/a} b=-\log_a b \]
а)–в) обычная подстановка:
\[ f(1)=2^1=2,\quad f(5)=2^5=32,\quad f(0)=2^0=1 \]
г), д) минус в показателе — это дробь:
\[ f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad f(-3)=2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125 \]
е) дробный показатель — корень:
\[ f\left(\tfrac{1}{2}\right)=2^{1/2}=\sqrt{2} \]
ж) здесь работает основное логарифмическое тождество — степень и логарифм с одинаковым основанием «гасят» друг друга:
\[ f(\log_2 5)=2^{\log_2 5}=5 \]
з) основание логарифма \(0{,}5=\tfrac12\) — «переворачиваем» знак:
\[ \log_{0{,}5}3=\log_{1/2}3=-\log_2 3 \]
\[ f(\log_{0{,}5}3)=2^{-\log_2 3}=\frac{1}{2^{\log_2 3}}=\frac{1}{3} \]
Проверка: \(2^{-3}<2^{0}<2^{1/2}<2^{1}<2^{5}\), то есть \(0{,}125<1<\sqrt{2}<2<32\) — порядок ответов согласуется с возрастанием \(2^x\). Осталось \(1/3\) и \(5\): \(1/3<1<5\), тоже верно, ведь \(\log_{0{,}5}3<0<\log_2 5\).
2.34. Сравнение
Удобно переписать функцию через степень с основанием \(3\):
\[ g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^x=3^{-x} \]
а) Считаем обе стороны:
\[ g(4)=3^{-4}=\frac{1}{81},\qquad 7g(0)=7\cdot 3^{0}=7\cdot 1=7 \]
\[ \frac{1}{81}<7 \;\Rightarrow\; g(4)<7g(0) \]
б) Слева два слагаемых:
\[ g(-1)=3^{1}=3,\qquad g(-2)=3^{2}=9,\qquad g(-1)+g(-2)=3+9=12 \]
Справа снова помогает тождество:
\[ g(\log_3 2)=3^{-\log_3 2}=\frac{1}{3^{\log_3 2}}=\frac{1}{2}=0{,}5 \]
\[ 12>0{,}5 \;\Rightarrow\; g(-1)+g(-2)>g(\log_3 2) \]
Как проверять себя: \(3^{-x}\) убывает, поэтому большему аргументу отвечает меньшее значение. В пункте «а» аргумент \(4\) огромен по сравнению с \(0\), значит \(g(4)\) совсем маленькое, а \(7g(0)=7\) — большое; вывод \(<\). В пункте «б» аргументы \(-1\) и \(-2\) отрицательны, поэтому \(g\) там больше \(1\), а \(\log_3 2\in(0;1)\), значит \(g(\log_3 2)\in\left(\tfrac13;1\right)\) — снова всё сходится.
Вывод-правило: любое задание такого типа сводится к трём шагам — подставить, убрать «неудобный» показатель по свойствам степеней (\(a^{-n}\), \(a^{1/n}\), \(a^{\log_a b}\)), сравнить полученные числа в одном виде (дроби или десятичные).
