45. Докажите тождество: 1) 2x − (8 − x) + (3x − 2) = 6x − 10; 2) 8(2y − 5) − 4(3y − 7) − 6y = −2y − 12

Краткий ответ

• 45. Все три равенства — тождества: после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых левая часть обращается в правую (\(6x-10\), \(-2y-12\), \(-5z\)).
• 46. Оба равенства тождествами не являются: для 1) контрпример \(a=1\) (\(27 \ne 9\)), для 2) контрпример \(x=1\) (\(-8 \ne -5\)).

Главная идея

Тождество — это равенство, верное при всех значениях переменных. Отсюда два приёма:

• доказать — преобразовывать одну часть (обычно левую), пока не получим вид правой;
• опровергнуть — достаточно одного значения переменной, при котором числа не совпадают (контрпример).

45. Доказываем тождества

1) \[2x-(8-x)+(3x-2)=2x-8+x+3x-2=6x-10.\] Совпало с правой частью. Тождество доказано.

2) \[8(2y-5)-4(3y-7)-6y=16y-40-12y+28-6y=(16-12-6)y+(-40+28)=-2y-12.\] Совпало.

3) \[12-6\left(2z-\frac{1}{2}\right)+7z-15=12-12z+3+7z-15=(-12z+7z)+(12+3-15)=-5z.\] Совпало. Здесь важно: \(-6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=+3\).

46. Показываем, что это не тождества

1) По формуле куба суммы: \[(a+2)^{3}=a^{3}+3a^{2}\cdot 2+3a\cdot 4+8=a^{3}+6a^{2}+12a+8.\] Это не \(a^{3}+8\) (разница \(6a^{2}+12a\)). Контрпример: при \(a=1\) левая часть равна \(3^{3}=27\), правая — \(1+8=9\), а \(27 \ne 9\).

2) Левая часть: \((x+3)(x-3)=x^{2}-9\) — выражение квадратичное. Правая часть \(x+3(x-3)=4x-9\) — линейное. Совпадать при всех \(x\) они не могут. Контрпример: при \(x=1\) левая часть равна \(-8\), правая \(-5\), то есть \(-8 \ne -5\). (Равенство случайно выполняется лишь при \(x=0\) и \(x=4\).)

Проверка и вывод

Порядок действий для похожего задания: раскрыть скобки (следить за знаком минуса перед скобкой и за умножением на дробь) → привести подобные → сравнить с другой частью. Если сравнение «не сходится» при всех \(x\), ищем одно неудобное значение — и равенство опровергнуто.