Что такое простые числа
Краткий ответ
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и само это число. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
Числа больше 1, у которых есть ещё какие-то делители, называются составными: 4, 6, 8, 9, 10, 12…
Как это понять
Всё решает количество делителей:
- у числа 7 делители только 1 и 7 → простое;
- у числа 12 делители 1, 2, 3, 4, 6, 12 → составное;
- у числа 1 делитель всего один (сама единица), поэтому 1 не считается ни простым, ни составным.
Отдельно стоит запомнить: 2 — единственное чётное простое число. Любое другое чётное число делится на 2, значит, у него уже есть третий делитель.
Как проверить, простое ли число
Не нужно перебирать все числа до \(n\). Достаточно проверить делители до \(\sqrt{n}\) включительно: если ни один из них не подошёл, то число простое. Ведь если \(n = a \cdot b\), то хотя бы один из множителей не больше корня.
Пример 1. Проверим 97. \(\sqrt{97} \approx 9{,}8\), значит, хватит простых 2, 3, 5, 7:
- на 2 не делится (нечётное),
- на 3 не делится (\(9+7=16\), а 16 не делится на 3),
- на 5 не делится (не оканчивается на 0 или 5),
- на 7 не делится (\(97 = 7 \cdot 13 + 6\)).
Вывод: 97 — простое.
Пример 2. Проверим 91. \(\sqrt{91} \approx 9{,}5\), проверяем 2, 3, 5, 7. На 7 делится: \(91 = 7 \cdot 13\). Значит, 91 — составное.
Проверка результата
Хороший самоконтроль — разложить число на множители. Если удалось записать его как произведение двух чисел, каждое из которых больше 1, оно составное. Если нет — простое. Первые простые числа удобно держать в голове: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… Их бесконечно много — это ещё доказал Евклид.
Обсуждение
6 сообщенийнайти все простые числа меньше 50
Простые числа меньше 50:
\[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47 \]
Всего их 15.
Как быстро отобрать:
- Выписываем числа от 2 до 49.
- Оставляем 2, 3, 5, 7, а все числа, которые делятся на них (кроме самих этих чисел), вычёркиваем.
- Проверять делители дальше 7 не нужно, потому что \(7^2=49<50\): если у числа до 50 есть другой делитель, то есть и делитель не больше 7.
Например, \(49=7\cdot7\), поэтому 49 составное, а 47 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7 — значит, оно простое.
Запиши все делители числа 24 и все делители числа 36 Выпишите в порядке убавления одинаковые делители этих чисел
Делители 24: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)
Делители 36: \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\)
Общие делители (в порядке убывания):
\[ 12,\ 6,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1 \]
Наибольший общий делитель — 12: \(24 = 2 \cdot 12\), \(36 = 3 \cdot 12\).
Как проверить, что ничего не пропущено: делители удобно выписывать парами — меньший множитель с большим.
- Для 24: \(1\cdot24,\ 2\cdot12,\ 3\cdot8,\ 4\cdot6\) — итого 8 делителей.
- Для 36: \(1\cdot36,\ 2\cdot18,\ 3\cdot12,\ 4\cdot9,\ 6\cdot6\) — итого 9 делителей.
Общие делители — это те числа, которые встречаются в обоих списках: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). Если расположить их от большего к меньшему, получится \(12, 6, 4, 3, 2, 1\).
3.365
3.365. Наименьшее число, кратное каждому из трёх чисел — это их наименьшее общее кратное (НОК).
а) 2, 5 и 15 → 30 \(15 = 3\cdot5\), числа 2 и 5 уже есть в разложении, добавляем только 2: \(2\cdot3\cdot5 = 30\).
б) 2, 4 и 5 → 20 \(4 = 2\cdot2\) (двойка уже учтена), добавляем 5: \(4\cdot5 = 20\).
в) 3, 6 и 12 → 12 12 делится и на 6, и на 3, поэтому хватит самого большого числа — 12.
г) 2, 7 и 5 → 70 Все три числа простые и попарно различны, значит, перемножаем: \(2\cdot7\cdot5 = 70\).
Ответ: а) 30; б) 20; в) 12; г) 70.
Как проверять: найденное число должно делиться на каждое из трёх без остатка, а меньше него такого числа быть не может. Например, в пункте а) 30 делится на 2, 5 и 15; в пункте в) 12 делится на 3, 6 и 12.
