правильно ли проведены высоты
Сверь числа и знаки с фото.
[Рисунок: на клетчатой бумаге от руки начерчен треугольник с вершинами \(M\) слева, \(K\) справа и \(T\) внизу. Сторона \(MK\) горизонтальна. На \(MK\) отмечена точка \(T_1\), на \(TK\) — точка \(M_1\). Проведены отрезки \(MT\), \(TK\), \(MK\), \(TT_1\), \(MM_1\) и отрезок из вершины \(K\) к точке на стороне \(MT\). Все три внутренних отрезка из вершин пересекаются в одной точке. У вершины \(T\) справа есть короткая горизонтальная пометка; слева у стороны \(MT\) — пометка [неразборчиво].]
Кратко: нет, проведены не все высоты. Верно проведена только высота \(TT_1\) к стороне \(MK\): основание \(MK\) горизонтально, а \(TT_1\) идёт вертикально, поэтому угол при \(T_1\) прямой. Отрезки \(MM_1\) и отрезок из \(K\) к стороне \(MT\) прямого угла с противоположными сторонами не образуют. По рисунку они ведут примерно к серединам сторон, то есть это медианы.
Принцип. Высота треугольника — это перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Проверять надо прямой угол в основании высоты: у \(T_1\) он есть, у \(M_1\) — нет. То, что все три отрезка пересеклись в одной точке, ничего не доказывает: медианы тоже пересекаются в одной точке.
Как исправить. Из \(M\) нужно опустить перпендикуляр на \(TK\), из \(K\) — на \(MT\). Удобно пользоваться угольником: одна его сторона идёт вдоль стороны треугольника, другая должна пройти через нужную вершину. В равнобедренном треугольнике высота к основанию совпадает с медианой, поэтому \(TT_1\) может быть и высотой, и медианой.
Обсуждение
4 сообщенияЕсли речь о высотах, то на верхнем рисунке они проведены неверно: там построены медианы.
По меткам видно: \[ AB_1=B_1C,\qquad AC_1=C_1B,\qquad BA_1=A_1C. \] Значит, \(A_1,B_1,C_1\) — середины сторон, а \(AA_1,\ BB_1,\ CC_1\) — медианы треугольника \(ABC\).
Высотой на этом рисунке является только \(BB_1\): она перпендикулярна \(AC\). А \(AA_1\) и \(CC_1\) в общем случае не перпендикулярны сторонам \(BC\) и \(AB\), поэтому высотами не являются.
Если же задание было построить медианы, то всё верно: они пересекаются в точке \(O\), которая является центроидом.
Чтобы провести именно высоты, нужно из \(A\) опустить перпендикуляр на \(BC\), а из \(C\) — на \(AB\).
Правильно ли проведены биссектрисы
Кратко: нет, биссектрисы проведены неверно.
На рисунке отмечены равные отрезки: \[ AB_1=B_1C,\qquad AC_1=C_1B,\qquad BA_1=A_1C. \] Значит, \(A_1,B_1,C_1\) — середины сторон, а отрезки \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — медианы, а не биссектрисы.
Чтобы проверить биссектрису, нужно смотреть на углы: она должна делить угол вершины пополам. На рисунке же отмечены равные половины сторон, а не углов. Поэтому изображены медианы.
Исключение — если треугольник \(ABC\) равнобедренный, например \(AB=BC\). Тогда медиана \(BB_1\), проведённая к основанию \(AC\), одновременно является биссектрисой и высотой. Но для двух других отрезков это уже неверно.
Чтобы правильно провести биссектрисы, нужно из каждой вершины построить луч, делящий соответствующий угол пополам, и продолжить его до противоположной стороны.
