6x² − 18 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = \sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3} \] Короче это записывают так: \(x = \pm\sqrt{3}\).

Как это решается

Перед нами неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + c = 0\) — в нём нет члена с \(x\). Общий приём: оставить \(x^2\) слева, а число перенести вправо.

1. Переносим \(-18\) в правую часть: \[ 6x^2 = 18 \]
2. Делим обе части на 6: \[ x^2 = 3 \]
3. Уравнение \(x^2 = a\) при \(a > 0\) имеет два корня: \(x = \sqrt{a}\) и \(x = -\sqrt{a}\), ведь оба числа в квадрате дают \(a\). Значит: \[ x = \pm\sqrt{3} \]

Суть принципа: квадрат «стирает» знак, поэтому корней два и они противоположны. Если бы справа получилось отрицательное число (например, \(x^2 = -3\)), действительных корней не было бы вовсе — квадрат не может быть отрицательным.

Проверка

Подставляем \(x = \sqrt{3}\): \[ 6(\sqrt{3})^2 - 18 = 6 \cdot 3 - 18 = 18 - 18 = 0 \] Для \(x = -\sqrt{3}\) квадрат тоже равен 3, поэтому результат тот же — 0. Оба корня подходят.

Тот же ответ даёт разложение на множители: \[ 6x^2 - 18 = 6(x^2 - 3) = 6(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \] Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель, — отсюда \(x = \sqrt{3}\) или \(x = -\sqrt{3}\).