Объясни пожалуйста номер 16

Краткий ответ: радиус вписанной окружности \(r=7\).

Ключевые шаги

1. В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота совпадают. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, значит, он лежит на высоте.
2. Медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому радиус вписанной окружности составляет треть высоты: \[ r=\frac{h}{3}. \]
3. Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\): \[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \] При \(a=14\sqrt{3}\): \[ h=\frac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{14\cdot 3}{2}=21. \]
4. Тогда \[ r=\frac{21}{3}=7. \]

Проверка через площадь

Площадь треугольника: \[ S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{(14\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{4}=147\sqrt{3}. \] Полупериметр: \[ p=\frac{3a}{2}=\frac{3\cdot 14\sqrt{3}}{2}=21\sqrt{3}. \] Радиус вписанной окружности: \[ r=\frac{S}{p}=\frac{147\sqrt{3}}{21\sqrt{3}}=7. \]

Результат совпал. Полезно запомнить общую формулу для равностороннего треугольника: \[ r=\frac{a\sqrt{3}}{6}. \] Подстановка \(a=14\sqrt{3}\) сразу даёт \(r=7\).