189 дз

Краткие ответы

• а) \(x\in(-5;10)\)
• б) \(m\in[-9;1]\)
• в) \(y\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac23;+\infty\right)\)
• г) \(p\in\left(-\infty;-\frac74\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right)\)
• д) \(x\in\mathbb R\)
• е) все \(x\neq\frac13\)

Как решать

Сначала переносим всё в одну часть, чтобы справа был \(0\). Потом находим нули выражения: в них график пересекает ось \(x\). Если старший коэффициент положителен, ветви параболы направлены вверх: выражение отрицательно между корнями и положительно снаружи. Для \(\le\) и \(\ge\) корни включаем, для \(<\) и \(>\) — нет.

Разбор пунктов

• а) \(x^2-5x-50=(x-10)(x+5)\). Корни \(-5\) и \(10\), знак \(<\): берём промежуток между ними.
• б)
  \[ -m^2-8m+9\ge0 \iff m^2+8m-9\le0 \iff (m+9)(m-1)\le0 \] Корни \(-9\) и \(1\), неравенство нестрогое: \([-9;1]\).
• в) \(3y^2+4y-4=(3y-2)(y+2)\). Корни \(-2\) и \(\frac23\), знак \(>\): берём внешние промежутки.
• г)
  \[ 8p^2+2p-21=(2p-3)(4p+7) \] Корни \(-\frac74\) и \(\frac32\), знак \(\ge\): концы включаем.
• д)
  \[ 12x-9\le4x^2 \iff 4x^2-12x+9\ge0 \iff (2x-3)^2\ge0 \] Квадрат всегда неотрицателен, поэтому подходит любое \(x\).
• е)
  \[ -9x^2<1-6x \iff (3x-1)^2>0 \] Квадрат положителен всегда, кроме случая \(3x-1=0\), то есть \(x=\frac13\).

Проверка. В а) \(x=0\) даёт \(-50<0\), это подходит, а \(x=11\) уже не подходит. В е) при \(x=\frac13\) обе части равны \(-1\), поэтому точка исключена.