189 ответ и решения

Краткий ответ

• а) \(x\in(-5;10)\)
• б) \(m\in[-9;1]\)
• в) \(y\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\)
• г) \(p\in\left(-\infty;-\frac{7}{4}\right]\cup\left[\frac{3}{2};+\infty\right)\)
• д) \(x\in\mathbb{R}\)
• е) \(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{3}\right\}\)

Как решать

Квадратное неравенство приводят к виду \(ax^2+bx+c\) и находят корни. Затем по параболе определяют знак выражения на промежутках.

1. Если ветви параболы направлены вверх (\(a>0\)), то между корнями выражение отрицательно, а вне корней — положительно.
2. Если \(a<0\), знаки меняются на противоположные.
3. Строгий знак — круглые скобки, нестрогий — квадратные.
4. Если получился полный квадрат, выражение неотрицательно при всех \(x\).

Подробно по пунктам

а)
\[ x^2-5x-50=(x-10)(x+5)<0. \] Корни: \(-5\) и \(10\). Парабола ветвями вверх, отрицательна между корнями: \[ x\in(-5;10). \]

б)
\[ -m^2-8m+9\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad m^2+8m-9\le0. \] Корни: \(-9\) и \(1\). Неравенство нестрогое, поэтому концы входят: \[ m\in[-9;1]. \]

в)
\[ 3y^2+4y-4=3(y+2)\left(y-\frac{2}{3}\right)>0. \] Корни: \(-2\) и \(\frac{2}{3}\). Знак «больше нуля» — вне корней: \[ y\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac{2}{3};+\infty\right). \]

г)
\[ 8p^2+2p-21\ge0. \] Корни: \[ p_1=-\frac{7}{4},\qquad p_2=\frac{3}{2}. \] Ветви вверх, знак «\(\ge0\)» — вне корней, концы включаем: \[ p\in\left(-\infty;-\frac{7}{4}\right]\cup\left[\frac{3}{2};+\infty\right). \]

д)
\[ 12x-9\le4x^2 \quad\Leftrightarrow\quad 4x^2-12x+9\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad (2x-3)^2\ge0. \] Квадрат всегда неотрицателен, поэтому подходит любое \(x\): \[ x\in\mathbb{R}. \]

е)
\[ -9x^2<1-6x \quad\Leftrightarrow\quad 9x^2-6x+1>0 \quad\Leftrightarrow\quad (3x-1)^2>0. \] Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x=\frac13\): \[ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{3}\right\}. \]

Для проверки можно брать пробные точки: например, в пункте а \(x=0\) даёт \(-50<0\), значит \(0\) действительно входит в ответ.