1) По[неразборчиво] функции, область [неразборчиво]; I: y=(3x+1)/(x-2), II: y=5/(x+5); 2) I: 6(x-11)(x+15)≤0, II: (x+3)(4-x)≥0; 3) I: y=x²+3, II: y=-x²+2

На доске два варианта одной работы: I (левый столбец) и II (правый), инструкции к пунктам 1–3 записаны по центру и общие для обоих.

Коротко

• I.1 \(y=\dfrac{3x+1}{x-2}\): \(x\ne2\); гипербола, асимптоты \(x=2\) и \(y=3\).
• I.2 \(6(x-11)(x+15)\le0\): \(x\in[-15;\,11]\).
• I.3 \(y=x^2+3\): парабола, ветви вверх, вершина \((0;3)\).
• II.1 \(y=\dfrac{5}{x+5}\): \(x\ne-5\); гипербола, асимптоты \(x=-5\) и \(y=0\).
• II.2 \((x+3)(4-x)\ge0\): \(x\in[-3;\,4]\).
• II.3 \(y=-x^2+2\): парабола, ветви вниз, вершина \((0;2)\).

1. Область определения и график

Дробь \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) существует только при \(Q(x)\ne0\) — это и есть область определения. Первую строку доски я читаю как «построить график функции, область определения»; если речь об области значений, её ответы тоже указаны ниже.

Вариант I. \(x-2\ne0\), значит \(x\ne2\): \[D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).\] Чтобы строить график, выделяю целую часть: \[y=\frac{3x+1}{x-2}=\frac{3(x-2)+7}{x-2}=3+\frac{7}{x-2}.\] Это гипербола \(y=\frac{7}{x}\), сдвинутая на 2 вправо и на 3 вверх. Асимптоты: \(x=2\) и \(y=3\). Точки для построения: \((0;-0{,}5)\), \(\left(-\frac13;0\right)\), \((1;-4)\), \((3;10)\), \((4;6{,}5)\). Так как \(\frac{7}{x-2}\ne0\), то \(y\ne3\) — это область значений.

Вариант II. \(x+5\ne0\), значит \(x\ne-5\): \[D(y)=(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).\] График — гипербола \(y=\frac{5}{x}\), сдвинутая на 5 влево; асимптоты \(x=-5\) и \(y=0\). Точки: \((0;1)\), \((-4;5)\), \((-6;-5)\), \((-10;-1)\). Область значений: \(y\ne0\).

2. Метод интервалов

Порядок: найти нули множителей → отметить их на прямой (для нестрогого неравенства точки закрашены) → определить знак произведения на каждом промежутке → выбрать нужные промежутки. Знак на крайнем правом промежутке совпадает со знаком старшего коэффициента, дальше знаки чередуются.

Вариант I. \(6(x-11)(x+15)\le0\). Множитель \(6>0\), поэтому делим на него без смены знака: \[(x-11)(x+15)\le0.\] Корни: \(-15\) и \(11\); старший коэффициент положителен, значит «+» вне корней и «−» между ними. Нужно «\(\le0\)»: \[x\in[-15;\,11].\]

Вариант II. \((x+3)(4-x)\ge0\). Старший коэффициент отрицателен (перед \(x^2\) получится \(-1\)). Умножаю на \(-1\) с поворотом знака: \[(x+3)(x-4)\le0\ \Rightarrow\ x\in[-3;\,4].\] По знакам то же самое: при \(x>4\) произведение отрицательно, между корнями положительно, левее \(-3\) снова отрицательно; нужно «\(\ge0\)».

3. Парабола \(y=ax^2+c\)

Это график \(y=x^2\), сдвинутый по вертикали на \(c\): вершина \((0;c)\), ветви вверх при \(a>0\) и вниз при \(a<0\).

• I: \(y=x^2+3\) — ветви вверх, вершина \((0;3)\), точки \((\pm1;4)\), \((\pm2;7)\).
• II: \(y=-x^2+2\) — ветви вниз, вершина \((0;2)\), точки \((\pm1;1)\), \((\pm2;-2)\).

Проверка

• I.2: \(x=0\): \(6\cdot(-11)\cdot15=-990\le0\) — верно; \(x=12\): \(6\cdot1\cdot27=162>0\) — верно.
• II.2: \(x=0\): \(3\cdot4=12\ge0\) — верно; \(x=5\): \(8\cdot(-1)=-8<0\) — верно.
• I.1: при \(x=3\) получаем \(y=10\) (выше асимптоты \(y=3\)), при \(x=1\) получаем \(y=-4\) (ниже) — ветви расположены как у гиперболы \(y=\frac{7}{x-2}+3\).