напиши ответы на оценку пять
Сверь числа и знаки с фото.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА Вариант 1
- Постройте график функции \(y = 2x^2 + 4x - 6\) и найдите, используя график: а) нули функции; б) промежутки, в которых \(y > 0\) и \(y < 0\); в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее значение функции; д) область значения функции.
- Не строя график функции \(y = -x^2 + 4x\), найдите: а) нули функции; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) область значения функции.
Вариант 2
- Постройте график функции \(y = -x^2 + 2x + 3\) и найдите, используя график: а) нули функции; б) промежутки, в которых \(y > 0\) и \(y < 0\); в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наибольшее значение функции; д) область значения функции.
- Не строя график функции \(y = 2x^2 + 8x\), найдите: а) нули функции; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) область значения функции.
В кадре два варианта — даю ответы для обоих. Сначала кратко, затем — как это получается.
Краткие ответы
Вариант 1, № 1.
Нули: \(x=-3\) и \(x=1\).
\(y>0\) при \(x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)\);
\(y<0\) при \(x\in(-3;1)\).
Убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;+\infty)\).
Наименьшее значение: \(y_{\min}=-8\).
Область значений: \(E(y)=[-8;+\infty)\).
Вариант 1, № 2.
Нули: \(x=0\) и \(x=4\).
Возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\).
Область значений: \(E(y)=(-\infty;4]\).
Вариант 2, № 1.
Нули: \(x=-1\) и \(x=3\).
\(y>0\) при \(x\in(-1;3)\);
\(y<0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\).
Возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\).
Наибольшее значение: \(y_{\max}=4\).
Область значений: \(E(y)=(-\infty;4]\).
Вариант 2, № 2.
Нули: \(x=-4\) и \(x=0\).
Убывает на \((-\infty;-2]\), возрастает на \([-2;+\infty)\).
Область значений: \(E(y)=[-8;+\infty)\).
Общий принцип
Для функции
\[ y=ax^2+bx+c \]
вершина параболы:
\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \]
- Если \(a>0\), ветви вверх, \(y_0\) — минимум, область значений \([y_0;+\infty)\).
- Если \(a<0\), ветви вниз, \(y_0\) — максимум, область значений \((-\infty;y_0]\).
- Нули функции — это решения уравнения \(ax^2+bx+c=0\).
- До вершины функция убывает или возрастает в зависимости от направления ветвей; после вершины — наоборот.
Вариант 1
№ 1. \(y=2x^2+4x-6\)
Вершина:
\[ x_0=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1, \]
\[ y_0=2(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8. \]
Ветви вверх, значит, \((-1;-8)\) — вершина-минимум.
Нули:
\[ 2x^2+4x-6=0 \]
разделим на 2:
\[ x^2+2x-3=0, \]
\[ (x+3)(x-1)=0, \]
поэтому \(x=-3\) и \(x=1\).
Для графика можно взять точки:
\[ (-3;0),\ (-2;-6),\ (-1;-8),\ (0;-6),\ (1;0). \]
Дальше ответы уже получаются по графику: выше оси \(x\) парабола при \(x<-3\) и \(x>1\), ниже — между корнями.
№ 2. \(y=-x^2+4x\)
Выделим полный квадрат:
\[ y=-(x^2-4x)=-(x-2)^2+4. \]
Вершина: \((2;4)\), ветви вниз, значит, это максимум.
Нули:
\[ -x^2+4x=0, \]
\[ -x(x-4)=0, \]
\[ x=0,\quad x=4. \]
До \(x=2\) функция возрастает, после \(x=2\) — убывает. Область значений — от \(-\infty\) до \(4\), включая \(4\).
Вариант 2
№ 1. \(y=-x^2+2x+3\)
\[ y=-(x^2-2x-3)=-(x-1)^2+4. \]
Вершина: \((1;4)\), ветви вниз, поэтому это наибольшее значение.
Нули:
\[ -x^2+2x+3=0, \]
\[ x^2-2x-3=0, \]
\[ (x-3)(x+1)=0, \]
\[ x=-1,\quad x=3. \]
Точки для графика:
\[ (-1;0),\ (0;3),\ (1;4),\ (2;3),\ (3;0). \]
Так как ветви вниз, \(y>0\) между корнями, а \(y<0\) — снаружи.
№ 2. \(y=2x^2+8x\)
\[ y=2(x^2+4x)=2\bigl((x+2)^2-4\bigr)=2(x+2)^2-8. \]
Вершина: \((-2;-8)\), ветви вверх, значит, это минимум и начало области значений.
Нули:
\[ 2x^2+8x=0, \]
\[ 2x(x+4)=0, \]
\[ x=0,\quad x=-4. \]
До \(x=-2\) функция убывает, после \(x=-2\) возрастает.
Проверка
Корни действительно обращают функцию в ноль, а вершины дают экстремумы:
\[ 2(-1)^2+4(-1)-6=-8, \]
\[ -1^2+2\cdot 1+3=4. \]
В школе обычно концы промежутков монотонности включают, как выше. Если учитель требует строго открытые интервалы, у вершины ставят круглые скобки — сами промежутки от этого не меняются.
