Докажи что они равны
Сверь числа и знаки с фото.
- \(\frac{1{,}2x^2 - xy}{0{,}36x^2 - 0{,}25y^2} = \frac{20x}{6x + 5y}\)
Краткий ответ: равенство верно как тождество — при всех \(x,y\), для которых дроби имеют смысл. В частности, \(6x-5y\ne0\) и \(6x+5y\ne0\).
Доказательство.
Умножим числитель и знаменатель левой дроби на 100:
\[ \frac{1{,}2x^2-xy}{0{,}36x^2-0{,}25y^2} =\frac{120x^2-100xy}{36x^2-25y^2}. \]
Теперь раскладываем числитель и знаменатель на множители:
\[ 120x^2-100xy=20x(6x-5y), \]
\[ 36x^2-25y^2=(6x)^2-(5y)^2=(6x-5y)(6x+5y). \]
Подставляем:
\[ \frac{20x(6x-5y)}{(6x-5y)(6x+5y)} =\frac{20x}{6x+5y}. \]
Сокращать на \(6x-5y\) можно только при \(6x-5y\ne0\). Если \(6x-5y=0\), то и знаменатель исходной дроби равен нулю, поэтому такое значение в область допустимых значений не входит.
Проверка. Возьмём \(x=1,\ y=1\):
Левая часть:
\[ \frac{1{,}2-1}{0{,}36-0{,}25} =\frac{0{,}2}{0{,}11} =\frac{20}{11}. \]
Правая часть:
\[ \frac{20}{6+5}=\frac{20}{11}. \]
Результаты совпали.
Как действовать в похожих заданиях: избавиться от десятичных коэффициентов, разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить общий множитель — обязательно с учётом того, что он не равен нулю.
Обсуждение
4 сообщенияДокажи что они равны
Справа читаю \(\dfrac{20x}{6x+5y}\). Равенство верно при условии, что знаменатели не равны нулю: \(6x-5y\ne 0\) и \(6x+5y\ne 0\).
\[ \frac{1{,}2x^2-xy}{0{,}36x^2-0{,}25y^2} \]
Умножим числитель и знаменатель на \(100\), чтобы убрать десятичные дроби:
\[ =\frac{120x^2-100xy}{36x^2-25y^2} \]
Теперь разложим на множители:
\[ 120x^2-100xy=20x(6x-5y) \]
\[ 36x^2-25y^2=(6x-5y)(6x+5y) \]
Получаем:
\[ =\frac{20x(6x-5y)}{(6x-5y)(6x+5y)} \]
Сокращаем на \(6x-5y\):
\[ =\frac{20x}{6x+5y} \]
Значит,
\[ \frac{1{,}2x^2-xy}{0{,}36x^2-0{,}25y^2} = \frac{20x}{6x+5y}, \]
что и требовалось доказать.
Реши
\[ \frac{a}{b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2} =\frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)} \]
при условиях \(b\ne0\) и \(a\ne \pm b\).
Решение по шагам.
Разложим числитель второй дроби: \[ b^2-ab=b(b-a). \]
Разложим её знаменатель как разность квадратов: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
Так как \(b-a=-(a-b)\), получаем: \[ \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} = \frac{b(b-a)}{(a-b)(a+b)} = -\frac{b}{a+b}. \]
Подставляем в исходное выражение: \[ \frac{a}{b}-\left(-\frac{b}{a+b}\right) = \frac{a}{b}+\frac{b}{a+b}. \]
Приводим к общему знаменателю \(b(a+b)\): \[ \frac{a(a+b)+b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{b(a+b)}. \]
Проверка: при \(a=2,\ b=3\): \[ \frac{2}{3}-\frac{9-6}{4-9} = \frac{2}{3}+\frac{3}{5} = \frac{19}{15}, \] и по полученной формуле: \[ \frac{4+6+9}{3(2+3)}=\frac{19}{15}. \] Всё сходится.
