Вариант №1 1. Найти произведение матриц AB, где A = (2 0 3; -1 2 4; 0 3 -2), B = (1 0; -2 -1; 3 2)

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант №1

1. Найти произведение матриц $AB$, где
$$
A=\begin{pmatrix}2&0&3\-1&2&4\0&3&-2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&0\-2&-1\3&2\end{pmatrix}.
$$

2. Найти ранг матрицы $A$
$$
A=\begin{pmatrix}
1&3&2&0&5\
2&6&9&7&12\
-2&-5&2&4&5\
1&4&8&4&20
\end{pmatrix}.
$$

3. Решить систему уравнений матричным способом и Крамера
$$
\begin{cases}
2x-4y+3z=1,\
x-2y+4z=3,\
3x-y+5z=2.
\end{cases}
$$

4. Решить систему линейных уравнений
$$
\begin{cases}
2x-3y+4z-u=1,\
2x-3y+2z+3u=2,\
2x-3y+2z-11u=-4.
\end{cases}
$$

5. Вычислить определитель

6. Вычислить определитель
$$
\begin{vmatrix}
2&-3&4&-2\
2&-1&3&1\
1&2&-1&0\
3&1&4&-1
\end{vmatrix}
$$

7. Определить модули суммы и разности векторов
$$
\vec a=\{3;-5;8\},\quad \vec b=\{-1;1;-4\}.
$$

8. Даны три точки $A(-1;5;-10)$, $B(5;-7;8)$, $C(2;2;-7)$. Найти скалярное произведение $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$.

9. Вектора $\vec a$ и $\vec b$ образуют угол $\varphi=\frac{\pi}{6}$. Зная, что $|\vec a|=6$, $|\vec b|=5$, вычислить модуль векторного произведения $\left|[\vec a\,\vec b]\right|$.

Answer

Краткие ответы для варианта №1:

1. $AB=\begin{pmatrix}11&6\7&6\-12&-7\end{pmatrix}$

2. $\operatorname{rank}A=3$

3. $x=-1,\ y=0,\ z=1$

4. $\left(x,y,z,u\right)=\left(3t,\ 2t,\ \frac{5}{14},\ \frac{3}{7}\right)$, $t\in\mathbb R$

5. $\Delta=44$

6. $\left|\vec a+\vec b\right|=6$, $\left|\vec a-\vec b\right|=14$

7. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-396$

8. $\left|\vec a\times\vec b\right|=15$

Как это получается

1. Произведение матриц

Элемент произведения — сумма произведений строки первой матрицы на столбец второй:
$$
c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}.
$$
Например:
$$
c_{11}=2\cdot1+0\cdot(-2)+3\cdot3=11.
$$
В результате:
$$
AB=
\begin{pmatrix}
11&6\
7&6\
-12&-7
\end{pmatrix}.
$$

2. Ранг матрицы

Приводим строки к более простому виду:
$$
\begin{pmatrix}
1&3&2&0&5\
2&6&9&7&12\
-2&-5&2&4&5\
1&4&8&4&20
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1&3&2&0&5\
0&0&5&7&2\
0&1&6&4&15\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}.
$$
Остались три ненулевые независимые строки, поэтому:
$$
\operatorname{rank}A=3.
$$

3. Система: матричный способ и Крамера

Матрица коэффициентов:
$$
A=\begin{pmatrix}
2&-4&3\
1&-2&4\
3&-1&5
\end{pmatrix},
\quad
B=\begin{pmatrix}1\3\2\end{pmatrix}.
$$
$$
\det A=-25\ne0.
$$
Поэтому решение единственно.

Матричный способ:
$$
X=A^{-1}B,
$$
где
$$
A^{-1}=\frac1{25}
\begin{pmatrix}
6&-17&10\
-7&-1&5\
-5&10&0
\end{pmatrix}.
$$

По Крамеру:
$$
\Delta=-25,\quad
\Delta_x=25,\quad
\Delta_y=0,\quad
\Delta_z=-25.
$$
Значит:
$$
x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=-1,\qquad
y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=0,\qquad
z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=1.
$$
Ответ:
$$
(x,y,z)=(-1;0;1).
$$

4. Система с четырьмя неизвестными

Обозначим
$$
w=2x-3y.
$$
Тогда система принимает вид:
$$
\begin{cases}
w+4z-u=1,\
w+2z+3u=2,\
w+2z-11u=-4.
\end{cases}
$$
Вычитая третье уравнение из второго:
$$
14u=6 \quad\Rightarrow\quad u=\frac37.
$$
Далее:
$$
w+2z=\frac57,\qquad w+4z=\frac{10}{7}.
$$
Отсюда:
$$
z=\frac5{14},\qquad w=0.
$$
То есть
$$
2x-3y=0.
$$
Положим $y=2t$, тогда $x=3t$. Получаем:
$$
(x,y,z,u)=\left(3t,\ 2t,\ \frac5{14},\ \frac37\right),\quad t\in\mathbb R.
$$

5. Определитель

$$
\begin{vmatrix}
2&-3&4&-2\
2&-1&3&1\
1&2&-1&0\
3&1&4&-1
\end{vmatrix}.
$$
Разложим по третьей строке. Её элементы: $1,\ 2,\ -1,\ 0$. Соответствующие алгебраические дополнения:
$$
C_{31}=35,\qquad C_{32}=-8,\qquad C_{33}=-25.
$$
Тогда:
$$
\Delta=1\cdot35+2\cdot(-8)+(-1)\cdot(-25)
=35-16+25=44.
$$

6. Модули суммы и разности векторов

$$
\vec a+\vec b=(3-1;\ -5+1;\ 8-4)=(2;-4;4).
$$
$$
|\vec a+\vec b|=\sqrt{2^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{36}=6.
$$
$$
\vec a-\vec b=(3+1;\ -5-1;\ 8+4)=(4;-6;12).
$$
$$
|\vec a-\vec b|=\sqrt{4^2+(-6)^2+12^2}=\sqrt{196}=14.
$$

7. Скалярное произведение векторов

$$
\overrightarrow{AB}=B-A=(5-(-1);\ -7-5;\ 8-(-10))=(6;-12;18).
$$
$$
\overrightarrow{BC}=C-B=(2-5;\ 2-(-7);\ -7-8)=(-3;9;-15).
$$
Тогда:
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}
=6\cdot(-3)+(-12)\cdot9+18\cdot(-15).
$$
$$
=-18-108-270=-396.
$$

8. Модуль векторного произведения

Используем формулу:
$$
\left|\vec a\times\vec b\right|
=|\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi.
$$
$$
\left|\vec a\times\vec b\right|
=6\cdot5\cdot\sin\frac{\pi}{6}
=30\cdot\frac12=15.
$$