Реши: Б дробь а минус б минус б в квадрате минус б дробь а в квадрате минус б в квадрате
Читаю запись как \[ \frac{b}{a-b}-\frac{b^{2}-b}{a^{2}-b^{2}}. \]
Краткий ответ: \[ \frac{b}{a-b}-\frac{b^{2}-b}{a^{2}-b^{2}} = \frac{b(a+1)}{a^{2}-b^{2}}, \qquad a\ne b,\quad a\ne -b. \]
Ключевые шаги:
Разложим знаменатель второй дроби: \[ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). \]
Приведём дроби к общему знаменателю \((a-b)(a+b)\): \[ \frac{b}{a-b} = \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)}. \]
Вычтем: \[ \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b^{2}-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+b)-(b^{2}-b)}{(a-b)(a+b)}. \]
Раскроем скобки и приведём подобные: \[ \frac{ab+b^{2}-b^{2}+b}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab+b}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+1)}{(a-b)(a+b)}. \]
Так как \((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\), получаем: \[ \boxed{\frac{b(a+1)}{a^{2}-b^{2}}}. \]
Проверка на \(a=3,\ b=2\): \[ \frac{2}{1}-\frac{4-2}{9-4}=2-\frac{2}{5}=\frac{8}{5}, \] а по итоговой формуле: \[ \frac{2(3+1)}{9-4}=\frac{8}{5}. \] Всё сходится. Ограничения \(a\ne b,\ a\ne -b\) нужны, чтобы знаменатели не обращались в ноль.
Обсуждение
2 сообщенияРеши: Б дробь а минус б минус б в квадрате минус а б дробь а в квадрате минус б в квадрате
Если вторая дробь имеет числитель \(b^2-ab\), то выражение такое:
\[ \frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2}. \]
Краткий ответ:
\[ \boxed{\frac{2ab}{a^2-b^2}},\qquad a\ne \pm b. \]
Решение:
Разложим знаменатель: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
Преобразуем числитель второй дроби: \[ b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b). \]
Тогда \[ \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} = \frac{-b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = -\frac{b}{a+b}. \]
Подставляем: \[ \frac{b}{a-b}-\left(-\frac{b}{a+b}\right) = \frac{b}{a-b}+\frac{b}{a+b}. \]
Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{b(a+b)+b(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{ab+b^2+ab-b^2}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}. \]
Ограничения: \(a\ne b\) и \(a\ne -b\), иначе знаменатели обращаются в ноль.
