Укажите количество точек на тригонометрической окружности, отвечающих углам πn/4, n ∈ Z на отрезке (2π; 7π/2).
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
ЗАДАНИЕ 1 Укажите количество точек на тригонометрической окружности, отвечающих углам \(\frac{\pi n}{4}, n \in Z\) на отрезке \((2\pi; \frac{7\pi}{2})\).
ЗАДАНИЕ 2 Укажите количество точек на тригонометрической окружности, отвечающих углам \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z\) на отрезке \([-\frac{5\pi}{2}; -\pi]\).
ЗАДАНИЕ 3 Укажите количество точек на тригонометрической окружности, отвечающих углам \(\frac{4\pi}{3} + \pi n, n \in Z\) на отрезке \([-\frac{9\pi}{2}; -4\pi]\).
ЗАДАНИЕ 4 Решите уравнение \(\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\). В ответ укажите количество корней, принадлежащих промежутку \([\frac{3\pi}{2}; 4\pi]\).
ЗАДАНИЕ 5 Решите уравнение \(2 \cos(\frac{\pi}{6} - x) - \sqrt{3} = 0\). В ответ укажите количество корней, принадлежащих промежутку \((\frac{\pi}{2}; 2\pi)\).
- \(8<n<14\), \(n=9,\ldots,13\), все точки различны → 5.
- \(n=-5,-4,-3\) → 3.
- \(-\frac{35}{6}\le n\le -\frac{16}{3}\), целых \(n\) нет → 0.
- \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\); подходят \(\frac{11\pi}{6}, \frac{5\pi}{2}, \frac{23\pi}{6}\) → 3.
- \(x=2\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k\); в \(\left(\frac{\pi}{2};2\pi\right)\) корней нет → 0.
Обсуждение
2 сообщенияЗадание 6.
\(\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}+x)=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+\pi k\).
Корни: \(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\). Сумма:
\[
-\frac{3\pi}{2}=-4{,}71.
\]
Ответ: \(-4{,}71\).
Задание 7.
\(\operatorname{ctg}x=\frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi k\).
На промежутке \(\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]\) три корня.
Ответ: \(3\).
Задание 8.
\[
\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=-\frac12.
\]
Корни на \(\left(\frac{5\pi}{2};4\pi\right)\):
\[
\frac{17\pi}{6},\quad \frac{7\pi}{2},\quad \frac{23\pi}{6}.
\]
Ответ: \(\frac{17\pi}{6},\ \frac{7\pi}{2},\ \frac{23\pi}{6}\).
Задание 9.
\[
\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=-1
\Rightarrow x=\frac{5\pi}{2}+4\pi k.
\]
На промежутке \(\left[-\frac{11\pi}{2};-5\pi\right]\) только:
\[
-\frac{11\pi}{2}.
\]
Ответ: \(-\frac{11\pi}{2}\).
Задание 10.
\[
\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-\frac12.
\]
На \([0;2\pi]\) подходит только \(x=\frac{5\pi}{6}\).
Ответ: \(1\).
