напиши ответы на оценку пять

Ниже — оба варианта; если тебе задан только один, бери свой.

Вариант 1

№ 1. \(y=2x^2+4x-6\)

Ответ: а) нули функции: \(x=-3\), \(x=1\); б) \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)\); \(y<0\) при \(x\in(-3;1)\); в) убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;+\infty)\); г) наименьшее значение: \(-8\); д) область значений: \([-8;+\infty)\).

Как получено: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1,\qquad y_0=2(-1)^2+4(-1)-6=-8. \] Ветви параболы направлены вверх, так как \(a=2>0\), значит, в вершине \((-1;-8)\) — минимум.

Нули: \[ 2x^2+4x-6=0 \Longleftrightarrow x^2+2x-3=0 \Longleftrightarrow (x+3)(x-1)=0. \]

Точки для построения графика: \[ (-4;10),\ (-3;0),\ (-2;-6),\ (-1;-8),\ (0;-6),\ (1;0),\ (2;10). \]

№ 2. \(y=-x^2+4x\)

Ответ: а) нули функции: \(x=0\), \(x=4\); б) возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\); в) область значений: \((-\infty;4]\).

Как получено: \[ x_0=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,\qquad y_0=-2^2+4\cdot2=4. \] Ветви вниз, поэтому в точке \((2;4)\) — максимум.

Нули: \[ -x^2+4x=0 \Longleftrightarrow -x(x-4)=0. \]

Вариант 2

№ 1. \(y=-x^2+2x+3\)

Ответ: а) нули функции: \(x=-1\), \(x=3\); б) \(y>0\) при \(x\in(-1;3)\); \(y<0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\); в) возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\); г) наибольшее значение: \(4\); д) область значений: \((-\infty;4]\).

Как получено: \[ x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,\qquad y_0=-1^2+2\cdot1+3=4. \] Ветви вниз, значит, в вершине \((1;4)\) — максимум.

Нули: \[ -x^2+2x+3=0 \Longleftrightarrow x^2-2x-3=0 \Longleftrightarrow (x-3)(x+1)=0. \]

Точки для построения графика: \[ (-2;-5),\ (-1;0),\ (0;3),\ (1;4),\ (2;3),\ (3;0),\ (4;-5). \]

№ 2. \(y=2x^2+8x\)

Ответ: а) нули функции: \(x=-4\), \(x=0\); б) убывает на \((-\infty;-2]\), возрастает на \([-2;+\infty)\); в) область значений: \([-8;+\infty)\).

Как получено: \[ x_0=-\frac{8}{4}=-2,\qquad y_0=2\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)=-8. \] Так как \(a=2>0\), ветви вверх, в точке \((-2;-8)\) — минимум.

Нули: \[ 2x^2+8x=0 \Longleftrightarrow 2x(x+4)=0. \]

Общий принцип: для параболы \(y=ax^2+bx+c\) сначала находим вершину \(x_0=-\frac{b}{2a}\), затем нули из уравнения \(y=0\). Если \(a>0\), ветви вверх и есть минимум; если \(a<0\), ветви вниз и есть максимум. Промежутки возрастания и убывания меняются в вершине, а область значений ограничена значением в вершине.