В параллелограмме ABCD векторы AB и CD противоположные. Точка K — середина CD, AK пересекает прямую BC в точке M.

Кратко, что вписать

1. Сонаправленные: \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{KM}\).
2. Для \(\overrightarrow{MC}\) — \(\overrightarrow{AD}\); для \(\overrightarrow{CK}\) — \(\overrightarrow{AB}\).
3. Равные: \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{KM}\).
4. Равные длины: \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{KM}\); \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{MC}\).

Почему так

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf b\). Тогда \(\overrightarrow{CD}=-\mathbf a\).

Точка \(K\) — середина \(CD\), поэтому

\[ \overrightarrow{AK}=\mathbf b+\frac12\mathbf a. \]

Точка \(M\) лежит на \(BC\), значит,

\[ \overrightarrow{AM}=\mathbf a+t\mathbf b. \]

Но \(M\) лежит и на прямой \(AK\), поэтому

\[ \mathbf a+t\mathbf b=s\left(\mathbf b+\frac12\mathbf a\right). \]

Сравниваем коэффициенты: \(1=\frac{s}{2}\), \(t=s\). Отсюда \(s=t=2\). Значит,

\[ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AK}, \]

то есть \(K\) — середина \(AM\), и

\[ \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KM}. \]

Поэтому \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{KM}\) и сонаправлены, и равны.

Далее:

\[ \overrightarrow{MC}=-\mathbf b=-\overrightarrow{AD}, \]

значит, \(\overrightarrow{MC}\) противоположно направлен \(\overrightarrow{AD}\).

\[ \overrightarrow{CK}=-\frac12\mathbf a, \]

поэтому \(\overrightarrow{CK}\) противоположно направлен \(\overrightarrow{AB}\), хотя и короче его.

Наконец, длины \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{MC}\) равны, но направления противоположны — поэтому они подходят в пункт «равные длины», но не в пункт «равные векторы».