Длиной (модулем) вектора AB→ называется неотрицательное число, равное расстоянию между его началом и концом (то есть длина соответствующего отрезка).

Краткий ответ:

• \(|\vec{0}| = 0\);
• векторы с равными модулями и одинаковыми направлениями называются равными векторами;
• векторы с равными модулями и противоположными направлениями называются противоположными (в некоторых учебниках — противоположно направленными) векторами.

Разбор принципа:

1. Модуль вектора — это его длина, то есть расстояние между началом и концом. Нулевой вектор \(\vec{0}\) изображается точкой: начало и конец совпадают, значит расстояние равно \(0\). Поэтому \[ |\vec{0}| = 0. \] Это согласуется с определением: модуль — неотрицательное число, а \(0 \ge 0\).

2. Равные векторы должны совпадать и по длине, и по направлению. Если у двух векторов равные модули, но направления разные, они не равны. Поэтому в первом определении и появляется слово «равными»: равные модули + одинаковые направления.

3. Противоположные векторы имеют равные модули, но противоположные направления. Отсюда второе слово — «противоположными».

Проверка: равенства только модулей недостаточно для равенства векторов — например, два вектора длины \(2\), направленные в разные стороны, не равны. В определениях важны оба условия: и длина, и направление.