В координатной системе находится равнобедренный треугольник ABC (AC = BC). Проведены медианы AN и BM к боковым сторонам треугольника. Длина стороны AB = 18, а высоты CO = 4.0.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
В координатной системе находится равнобедренный треугольник $ABC$ ($AC=BC$). Проведены медианы $AN$ и $BM$ к боковым сторонам треугольника. Длина стороны $AB=18$, а высоты $CO=4.0$. Определи координаты вершин треугольника, координаты точек $M$ и $N$ и длину медиан $AN$ и $BM$ (ответ округли до сотых).

Ответ:

$A(\underline{\phantom{000}};\underline{\phantom{000}})$;

$B(\underline{\phantom{000}};\underline{\phantom{000}})$;

$C(\underline{\phantom{000}};\underline{\phantom{000}})$;

$N(\underline{\phantom{000}};\underline{\phantom{000}})$;

$M(\underline{\phantom{000}};\underline{\phantom{000}})$;

$AN=\underline{\phantom{000}}; BM=\underline{\phantom{000}}$.

Answer

Ответ (при стандартном расположении: $O$ — начало координат, $AB$ лежит на оси $Ox$, $C$ — сверху):

$$
A(-9;0),\quad B(9;0),\quad C(0;4),
$$
$$
N(4{,}5;2),\quad M(-4{,}5;2),
$$
$$
AN=BM=\sqrt{186{,}25}\approx 13{,}65.
$$

На фото не видно, как именно проведены оси координат. Если начало системы взять в другой точке, координаты сдвинутся, но длины медиан не изменятся. Если $C$ окажется ниже оси $Ox$, у точек $C,M,N$ поменяются знаки ординат.

Почему так:

1. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой. Значит, $O$ — середина $AB$:
$$
AO=OB=\frac{18}{2}=9.
$$
Поэтому при $O(0;0)$:
$$
A(-9;0),\quad B(9;0),\quad C(0;4).
$$

2. Медиана $AN$ идёт к стороне $BC$, поэтому $N$ — середина $BC$. Аналогично $M$ — середина $AC$. По формуле середины отрезка:
$$
N\left(\frac{9+0}{2};\frac{0+4}{2}\right)=(4{,}5;2),
$$
$$
M\left(\frac{-9+0}{2};\frac{0+4}{2}\right)=(-4{,}5;2).
$$

3. Длина $AN$ по формуле расстояния:
$$
AN=\sqrt{(4{,}5-(-9))^2+(2-0)^2}
=\sqrt{13{,}5^2+2^2}
=\sqrt{186{,}25}\approx 13{,}65.
$$
Из симметрии $BM=AN\approx 13{,}65$.