сделай очень очень краткие конспекты по этим 3 темам, при этом напиши название темы полностью

16 Перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую a и точку A, не лежащую на этой прямой (рис. 55). Соединим точку A с точкой H прямой a. Отрезок AH называется перпендикуляром, проведённым из точки A к прямой a, если прямые AH и a перпендикулярны. Точка H называется основанием перпендикуляра.

Теорема Из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Доказательство Пусть A — точка, не лежащая на прямой BC (рис. 56, а). Докажем сначала, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой BC. Отложим от луча BC угол MBC, равный углу ABC, как показано на рисунке 56, а. Так как углы ABC и MBC равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны BA и BC второго угла совместятся со сторонами BM и BC первого угла. Наглядно это наложение можно представить себе, как перегибание рисунка по прямой BC. При этом точка A наложится на некоторую точку A1 луча BM (рис. 56, б). Обозначим буквой H точку пересечения прямых AA1 и BC. Отрезок AH и есть искомый перпендикуляр к прямой BC. В самом деле, при указанном наложении (перегибании рисунка) луч HA совмещается с лучом HA1, поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следовательно, \(\angle 1 = \angle 2\). Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, \(AH \perp BC\).

[Рисунок: прямая a, точка A над ней, отрезок AH перпендикулярен прямой a, отмечен прямой угол; подпись «Отрезок AH — перпендикуляр к прямой a». Рис. 55.] [Рисунок: а) треугольник ABC и луч BM; б) точка A1 на луче BM, прямые AA1 и BC пересекаются в точке H, отмечены углы 1 и 2. Рис. 56.]

Докажем, что из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой BC. Если предположить, что через точку A можно провести ещё один перпендикуляр AH1 к прямой BC, то получим, что две прямые AH и AH1, перпендикулярные к прямой BC, пересекаются (рис. 57). Но в п. 12 было доказано, что это невозможно. Итак, из точки A можно провести только один перпендикуляр к прямой BC. Теорема доказана. Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертёжный угольник (рис. 58).

[Рисунок: прямая BC, точка A, отрезки AH и AH1 к прямой BC. Рис. 57.] [Рисунок: чертёжный угольник, приложенный к прямой. Рис. 58.]

17 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 59, а). Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 59, б отрезки AM, BM2, CM3 — медианы. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника (рис. 60, а). Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке 60, б отрезки CC1, DD1 и EE1 — биссектрисы треугольника CDE.

[Рисунок: а) треугольник ABC, отрезок AM — медиана; б) треугольник ABC, отрезки AM, BM2, CM3 — медианы. Рис. 59.] [Рисунок: а) треугольник ABC, проведена биссектриса CC1; б) треугольник CDE, проведены биссектрисы CC1, DD1, EE1. Рис. 60.]

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника (рис. 61). Любой треугольник имеет три высоты. На рисунках 62, а, б, в отрезки AH1, BH2, CH3 — высоты треугольника ABC. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами: Медианы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 59, б); биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 60, б); высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке (рис. 62, а, б, в). Эти утверждения мы докажем в 8 классе.

[Рисунок: треугольник ABC, из вершины A проведён перпендикуляр AH к прямой BC; подпись «AH — высота треугольника ABC». Рис. 61.] [Рисунок: а), б), в) — треугольники ABC с высотами AH1, BH2, CH3. Рис. 62.]

18 Свойства равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а). Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (рис. 63, б). Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Теорема В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и докажем, что \(\angle B = \angle C\).

[Рисунок: а) равнобедренный треугольник с подписями «Боковая сторона», «Боковая сторона», «Основание»; б) равносторонний треугольник. Рис. 63.] [Рисунок: треугольник ABC, проведена биссектриса AD, отмечены углы 1, 2, 3, 4. Рис. 64.]

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (\(AB = AC\) по условию, AD — общая сторона, \(\angle 1 = \angle 2\), так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому \(\angle B = \angle C\). Теорема доказана.

Теорема В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство Обратимся снова к рисунку 64, на котором \(\triangle ABC\) — равнобедренный треугольник с основанием BC, AD — его биссектриса. Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что \(BD = DC\) и \(\angle 3 = \angle 4\). Равенство \(BD = DC\) означает, что точка D — середина стороны BC, и поэтому AD — медиана треугольника ABC. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника ABC. Теорема доказана. Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

[Рисунок: равнобедренный треугольник ABC с основанием BC, проведена биссектриса AD, отмечены углы 1, 2, 3, 4. Рис. 64.]