Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]
Как это получается
Способ 1. По теореме Виета (уравнение приведённое, то есть коэффициент при \(x^{2}\) равен 1):
\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]
Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3: \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\). Значит, корни — 2 и 3.
Способ 2. Через дискриминант (универсальный, работает всегда):
\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Способ 3. Разложение на множители. Так как корни 2 и 3, то
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель zero: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).
Проверка
Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) — верно. Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) — верно.
Что запомнить для похожих заданий
- Если коэффициент при \(x^{2}\) равен 1, быстрее всего работает Виета: сумма корней равна \(-b\), произведение равно \(c\). Обрати внимание на знак: у нас \(b=-5\), поэтому сумма корней \(=5\), а не \(-5\).
- Дискриминант — надёжный «запасной» путь: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
- В конце всегда подставляй корни в исходное уравнение: это ловит ошибки со знаками.
