Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Question

Расшифровка фото нейросетью:
На рисунке изображена координатная система: горизонтальная ось $x$ направлена вправо, вертикальная ось $y$ — вверх, оси пересекаются в точке $O$. На оси $x$ слева от $O$ отмечена точка $A$, справа — точка $B$. Над $O$ на оси $y$ расположена вершина $C$. Синими линиями построен равнобедренный треугольник $ABC$: на стороне $AC$ отмечена точка $M$, на стороне $BC$ — точка $N$; проведены отрезки $AN$ и $BM$, которые пересекаются на оси $y$. Под рисунком виден текст: «В координатной системе находится равнобедренный треугольник $ABC$» [обрезано].

В координатной системе находится равнобедренный треугольник $ABC$ ($AC = BC$). Проведены медианы $AN$ и $BM$ к боковым сторонам треугольника. Длина стороны $AB = 18$, а высоты $CO = 4$. Определи координаты вершин треугольника, координаты точек $M$ и $N$ и длину медиан $AN$ и $BM$ (ответ округли до сотых).

Ответ: ___

[Рисунок: вверху видна часть координатной системы с горизонтальной осью $x$ и точками $A$, $O$, $B$; от $A$ и $B$ проведены синие отрезки к обрезанной верхней части рисунка.]

Answer

Корни уравнения: $x_1=2,\ x_2=3$.

Как это получить:

1. Ищем два числа, которые в сумме дают $5$, а в произведении — $6$. Это $2$ и $3$, поэтому
$$
x^2-5x+6=(x-2)(x-3).
$$

2. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$x-2=0$ или $x-3=0$. Отсюда $x=2$ или $x=3$.

Это же следует из теоремы Виета: для $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение $q$. Здесь $p=-5,\ q=6$, значит $x_1+x_2=5$, $x_1x_2=6$.

Универсальная проверка через дискриминант:
$$
D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1,\qquad
x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}.
$$
Получаем $x_1=3,\ x_2=2$.

Проверка:
$2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0$;
$3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0$.

На двух фото — другая задача, о равнобедренном треугольнике $ABC$; к этому уравнению она не относится.