В координатной системе находится равнобедренный треугольник ABC (AC = BC). Проведены медианы AN и BM к боковым сторонам треугольника. Длина стороны AB = 18, а высоты CO = 4.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: координатная плоскость: горизонтальная ось $x$ со стрелкой вправо и вертикальная ось $y$ со стрелкой вверх пересекаются в точке $O$. На оси $x$ слева от $O$ отмечена точка $A$, справа — $B$. Над $O$ на оси $y$ отмечена точка $C$. На стороне $AC$ отмечена точка $M$, на стороне $BC$ — точка $N$. Проведены отрезки $AN$ и $BM$, они пересекаются на оси $y$. Соединены точки $A$, $B$ и $C$, образуя треугольник.]
В координатной системе находится равнобедренный треугольник $ABC$

[Рисунок: верхняя часть координатной плоскости; на горизонтальной оси отмечены точки $A$, $O$ и $B$, справа показана стрелка оси $x$; через $O$ проходит вертикальная ось, её верхняя часть обрезана.]
В координатной системе находится равнобедренный треугольник $ABC$
$(AC = BC)$. Проведены медианы $AN$ и $BM$ к боковым сторонам
треугольника. Длина стороны $AB = 18$, а высоты $CO = 4$. Определи
координаты вершин треугольника, координаты точек $M$ и $N$ и длину медиан
$AN$ и $BM$ (ответ округли до сотых).
Ответ: ___

Answer

Кратко:
$$
A(-9;0),\quad B(9;0),\quad C(0;4),
$$
$$
M(-4{,}5;2),\quad N(4{,}5;2),
$$
$$
AN=BM\approx 13{,}65.
$$

Как понять решение:

1. Так как $AC=BC$, высота $CO$ к основанию $AB$ одновременно является медианой. Значит, $O$ — середина $AB$.
$$
AO=OB=\frac{18}{2}=9
$$
По рисунку $A$ находится слева от $O$, $B$ — справа, поэтому
$$
A(-9;0),\qquad B(9;0).
$$

2. Точка $C$ лежит на оси $y$ на высоте $4$:
$$
C(0;4).
$$

3. $AN$ — медиана к стороне $BC$, поэтому $N$ — середина $BC$.
$BM$ — медиана к стороне $AC$, поэтому $M$ — середина $AC$.
$$
M\left(\frac{-9+0}{2};\frac{0+4}{2}\right)=(-4{,}5;2),
$$
$$
N\left(\frac{9+0}{2};\frac{0+4}{2}\right)=(4{,}5;2).
$$

4. Найдём длину медианы $AN$ по формуле расстояния:
$$
AN=\sqrt{(4{,}5-(-9))^2+(2-0)^2}
=\sqrt{13{,}5^2+2^2}
=\sqrt{186{,}25}\approx 13{,}65.
$$
Из симметрии $BM=AN$, значит,
$$
BM\approx 13{,}65.
$$

Проверка: $M$ и $N$ симметричны относительно оси $y$, поэтому медианы $AN$ и $BM$ должны быть равны — так и получилось.