В координатной системе находится равнобедренный треугольник ABC (AC = BC). Проведены медианы AN и BM к боковым сторонам треугольника. Длина стороны AB = 18, а высоты CO = 4.0.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
В координатной системе находится равнобедренный треугольник ABC
[Рисунок: координатная плоскость с осями x и y, которые пересекаются в точке O. Точка A находится слева на оси x, точка B — справа на оси x, точка C — на положительной полуоси y. На стороне AC отмечена точка M, на стороне BC — точка N. Проведены отрезки AN и BM; они пересекаются внутри треугольника. Подписи: A, M, C, N, B, O, x, y.]

В координатной системе находится равнобедренный треугольник $ABC$
$(AC = BC)$. Проведены медианы $AN$ и $BM$ к боковым сторонам
треугольника. Длина стороны $AB = 18$, а высоты $CO = 4.0$. Определи
координаты вершин треугольника, координаты точек $M$ и $N$ и длину медиан
$AN$ и $BM$ (ответ округли до сотых).

Ответ:

$A( -9 ; 0 )$;
$B( 9 ; 0 )$;
$C( 0 ; 4 )$;
$N( 4.5 ; 2 )$;
$M( -4.5 ; 2 )$;
$AN = \underline{\phantom{000}}$ ; $BM = \underline{\phantom{000}}$.

Answer

Краткий ответ

$$
A(-9;0),\quad B(9;0),\quad C(0;4),
$$
$$
M(-4{,}5;2),\quad N(4{,}5;2);
$$
$$
AN=BM=\sqrt{186{,}25}\approx 13{,}65.
$$

На платформе, где разделитель — точка: $AN=BM=13.65$.

Как понять решение

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ высота $CO$ является также медианой. Значит, $O$ — середина $AB$:
$$
AO=OB=\frac{18}{2}=9.
$$
Поэтому $A(-9;0)$, $B(9;0)$, а так как $CO=4$, то $C(0;4)$.

2. Медиана $AN$ идёт к стороне $BC$, значит $N$ — середина $BC$. Аналогично $M$ — середина $AC$. По формуле середины отрезка:
$$
M\left(\frac{-9+0}{2};\frac{0+4}{2}\right)=(-4{,}5;2),
$$
$$
N\left(\frac{9+0}{2};\frac{0+4}{2}\right)=(4{,}5;2).
$$

3. Длину медианы находим как расстояние между точками:
$$
AN=\sqrt{(4{,}5-(-9))^2+(2-0)^2}
=\sqrt{13{,}5^2+2^2}
=\sqrt{186{,}25}\approx 13{,}65.
$$
Для $BM$ из-за симметрии треугольника получается такое же значение:
$$
BM=\sqrt{(-4{,}5-9)^2+(2-0)^2}\approx 13{,}65.
$$

Проверка: $AC=BC=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}$, значит, треугольник действительно равнобедренный с равными боковыми сторонами.