Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(13; 4), B(21; 12), C(15; 18) и D(7; 10).

Краткий ответ: \(S_{ABCD}=96\) (квадратных единиц).

1. Докажем, что это прямоугольник

Найдём векторы сторон:

\[ \overrightarrow{AB}=(21-13;\;12-4)=(8;8), \]

\[ \overrightarrow{BC}=(15-21;\;18-12)=(-6;6), \]

\[ \overrightarrow{CD}=(7-15;\;10-18)=(-8;-8), \]

\[ \overrightarrow{DA}=(13-7;\;4-10)=(6;-6). \]

Противоположные стороны параллельны и равны:

\[ \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD},\qquad \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}. \]

Значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

Теперь проверим соседние стороны:

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} =8\cdot(-6)+8\cdot6=-48+48=0. \]

Скалярное произведение равно нулю, значит, \(AB\perp BC\). В параллелограмме с прямым углом все углы прямые, поэтому \(ABCD\) — прямоугольник.

2. Найдём площадь

Длины соседних сторон:

\[ AB=\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt2, \]

\[ BC=\sqrt{(-6)^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2. \]

Площадь прямоугольника:

\[ S_{ABCD}=AB\cdot BC =8\sqrt2\cdot6\sqrt2 =48\cdot2=96. \]

Проверка: \(AB^2+BC^2=128+72=200\), а \(AC^2=(15-13)^2+(18-4)^2=4+196=200\). Значит, треугольник \(ABC\) прямоугольный, и вычисления согласованы.

\[ \boxed{S_{ABCD}=96} \]