Объясни как решать по шагам
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант A1
1 Упростите выражения:
а) \(4x^{4} \cdot (-2x^{2})^{3}\); б) \((3x - 1)(3x + 1) + (3x + 1)^{2}\).
Краткий ответ: а) \(-32x^{10}\); б) \(18x^{2}+6x\).
а) \(4x^{4}\cdot(-2x^{2})^{3}\)
Раскрываем степень произведения по правилу \((ab)^n=a^n b^n\): \[ (-2x^2)^3=(-2)^3\cdot(x^2)^3. \]
Считаем каждый множитель: \((-2)^3=-8\), а \((x^2)^3=x^{2\cdot3}=x^6\). Значит, \[ (-2x^2)^3=-8x^6. \]
Умножаем на \(4x^4\). Коэффициенты перемножаем, а степени с одинаковым основанием складываем: \[ 4x^4\cdot(-8x^6)=4\cdot(-8)\cdot x^{4+6}=-32x^{10}. \]
Частая ошибка — записать \((-2x^2)^3=-2x^6\). Нет: в куб возводится и коэффициент \(-2\), поэтому получается \(-8x^6\).
б) \((3x-1)(3x+1)+(3x+1)^2\)
Способ 1 — формулы сокращённого умножения.
Первое произведение — разность квадратов: \[ (3x-1)(3x+1)=(3x)^2-1^2=9x^2-1. \]
Квадрат суммы: \[ (3x+1)^2=(3x)^2+2\cdot3x\cdot1+1^2=9x^2+6x+1. \]
Складываем и приводим подобные: \[ (9x^2-1)+(9x^2+6x+1)=18x^2+6x. \]
Способ 2 — вынести общий множитель. Здесь он быстрее: \[ (3x-1)(3x+1)+(3x+1)^2=(3x+1)((3x-1)+(3x+1))=(3x+1)\cdot6x=18x^2+6x. \]
Проверка: при \(x=1\) исходное выражение даёт \(2\cdot4+4^2=8+16=24\), а ответ \(18\cdot1^2+6\cdot1=24\). Совпало.
Что важно запомнить
- При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень.
- При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
- Формулы \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) и \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) помогают быстро раскрывать скобки.
- Иногда выгоднее сначала вынести общий множитель, а не раскрывать всё подряд.
Задание 2 на фото обрезано; если нужно разобрать и его, пришли более чёткий кадр.
Обсуждение
2 сообщенияЯ не поняла
Давай медленнее и с самых основ. Сначала два простых правила, потом по шагам.
Два правила, на которых всё держится
Правило 1. \(x^4\) — это \(x\cdot x\cdot x\cdot x\) (четыре икса). Если умножить \(x^4\) на \(x^6\), получится 4 икса и ещё 6 иксов, всего 10: \[ x^4\cdot x^6=x^{10}. \] Коротко: при умножении показатели складываются.
Правило 2. Если в степень возводится произведение, то в эту степень возводится каждый множитель: \[ (2x)^3=2^3\cdot x^3=8x^3. \] Проверка: \((2x)(2x)(2x)=2\cdot2\cdot2\cdot x\cdot x\cdot x=8x^3\).
а) \(4x^4\cdot(-2x^2)^3\)
Шаг 1. Разбираемся со скобкой \((-2x^2)^3\). Это значит «взять \((-2x^2)\) три раза»: \[ (-2x^2)\cdot(-2x^2)\cdot(-2x^2). \]
Шаг 2. Считаем отдельно числа, отдельно иксы.
- Числа: \((-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\). Сначала \((-2)\cdot(-2)=4\), потом \(4\cdot(-2)=-8\). Итог: \(-8\).
- Иксы: \(x^2\cdot x^2\cdot x^2\). Показатели складываем: \(2+2+2=6\). Итог: \(x^6\).
Значит, \((-2x^2)^3=-8x^6\).
Шаг 3. Теперь умножаем на \(4x^4\): \[ 4x^4\cdot(-8x^6). \] Числа: \(4\cdot(-8)=-32\). Иксы: \(x^4\cdot x^6=x^{10}\).
Ответ: \(-32x^{10}\).
б) \((3x-1)(3x+1)+(3x+1)^2\)
Здесь не надо всё раскрывать. Смотри: в обоих слагаемых есть одинаковая скобка \((3x+1)\).
Тот же приём на числах: \[ 5\cdot3+5\cdot4=5\cdot(3+4). \] Общий множитель 5 вынесли за скобку. У нас вместо 5 — скобка \((3x+1)\).
Шаг 1. Записываем так: \[ (3x+1)\cdot\big((3x-1)+(3x+1)\big). \] Второе слагаемое \((3x+1)^2\) — это \((3x+1)\cdot(3x+1)\), поэтому скобка \((3x+1)\) там тоже есть.
Шаг 2. Считаем то, что в большой скобке: \[ 3x-1+3x+1=6x. \] Минус один и плюс один взаимно уничтожились, а \(3x+3x=6x\).
Шаг 3. Умножаем: \[ (3x+1)\cdot6x=18x^2+6x. \]
Ответ: \(18x^2+6x\).
Проверка на числе
Подставим \(x=1\) в пункт б:
- было: \(2\cdot4+4^2=8+16=24\);
- стало: \(18\cdot1+6\cdot1=24\).
Совпало, значит, преобразование верное.
Скажи, какой именно шаг пока непонятен — возведение в степень в пункте а или вынесение общей скобки в пункте б? Разберу только его.
