249 аг
Сверь числа и знаки с фото.
249 Решите систему уравнений: а) \[ \begin{cases} 2xy - y = 7,\\ x - 5y = 2; \end{cases} \] г) \[ \begin{cases} 3x^{2} + 2y^{2} = 11,\\ x + 2y = 3; \end{cases} \]
Кратко
а) \((5{,}5;\,0{,}7)\) и \((-3;\,-1)\); г) \((-1;\,2)\) и \(\left(\frac{13}{7};\,\frac{4}{7}\right)\).
Идея решения. В каждой системе одно уравнение линейное. Из него выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение — получаем квадратное уравнение относительно оставшейся переменной. Этот приём (метод подстановки) работает в обеих системах.
а) \[ \begin{cases} 2xy-y=7,\\ x-5y=2. \end{cases} \] Из второго уравнения: \(x=2+5y\). Подставляем в первое: \[ 2(2+5y)y-y=7 \] \[ 4y+10y^2-y=7 \;\Rightarrow\; 10y^2+3y-7=0. \] \[ D=3^2-4\cdot10\cdot(-7)=9+280=289=17^2, \] \[ y=\frac{-3\pm17}{20}. \] Значит, \(y_1=\frac{14}{20}=0{,}7\), \(y_2=\frac{-20}{20}=-1\). Возвращаемся к \(x=2+5y\): \[ x_1=2+3{,}5=5{,}5,\qquad x_2=2-5=-3. \]
г) \[ \begin{cases} 3x^2+2y^2=11,\\ x+2y=3. \end{cases} \] Из второго уравнения: \(x=3-2y\). Подставляем: \[ 3(3-2y)^2+2y^2=11, \] \[ 3(9-12y+4y^2)+2y^2=11, \] \[ 27-36y+12y^2+2y^2=11 \;\Rightarrow\; 14y^2-36y+16=0. \] Сократим на 2: \(7y^2-18y+8=0\). \[ D=18^2-4\cdot7\cdot8=324-224=100=10^2, \] \[ y=\frac{18\pm10}{14}. \] Отсюда \(y_1=2\), \(y_2=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\). Тогда \[ x_1=3-4=-1,\qquad x_2=3-\frac{8}{7}=\frac{13}{7}. \]
Проверка.
- \((5{,}5;\,0{,}7)\): \(2\cdot5{,}5\cdot0{,}7-0{,}7=7{,}7-0{,}7=7\); \(5{,}5-5\cdot0{,}7=2\). Верно.
- \((-3;\,-1)\): \(2\cdot(-3)(-1)-(-1)=6+1=7\); \(-3-5\cdot(-1)=2\). Верно.
- \((-1;\,2)\): \(3\cdot1+2\cdot4=11\); \(-1+4=3\). Верно.
- \(\left(\frac{13}{7};\,\frac{4}{7}\right)\): \(3\cdot\frac{169}{49}+2\cdot\frac{16}{49}=\frac{507+32}{49}=11\); \(\frac{13}{7}+\frac{8}{7}=3\). Верно.
Что запомнить. Линейное уравнение системы удобно использовать как «выражалку» переменной; после подстановки обязательно доводим до квадратного уравнения и находим оба корня, а затем каждому корню возвращаем парную переменную. Проверка не даёт потерять пару или ошибиться в знаках.
Обсуждение
3 сообщенияДумай
А как мне писать на тетради
Я перепроверил ещё раз — в обоих пунктах ошибки нет.
- а) Из \(x=2+5y\) получается \(10y^2+3y-7=0\), корни \(y=0{,}7\) и \(y=-1\). Пары: \((5{,}5;\,0{,}7)\) и \((-3;\,-1)\).
- г) Из \(x=3-2y\) получается \(7y^2-18y+8=0\), корни \(y=2\) и \(y=\frac{4}{7}\). Пары: \((-1;\,2)\) и \(\left(\frac{13}{7};\,\frac{4}{7}\right)\).
Каждая пара при подстановке обращает оба уравнения в верные равенства. Если в условии другие уравнения или нужно объяснить подробнее какой-то шаг — пришли фото/уточни, где именно сомнение.В тетради записывай кратко: система → выражение переменной → подстановка → квадратное уравнение → корни → пары → ответ. Длинные объяснения словами не нужны, достаточно коротких связок.
а)
\[ \begin{cases} 2xy-y=7,\\ x-5y=2 \end{cases} \]
Из второго уравнения: \(x=5y+2\). Подставим в первое:
\[ 2(5y+2)y-y=7 \]
\[ 10y^2+3y-7=0 \]
\[ D=3^2-4\cdot10\cdot(-7)=289 \]
\[ y_{1}=0{,}7,\qquad y_{2}=-1 \]
Тогда: \[ x_1=5\cdot0{,}7+2=5{,}5,\qquad x_2=5\cdot(-1)+2=-3. \]
Ответ: \((5{,}5;\,0{,}7)\), \((-3;\,-1)\).
г)
\[ \begin{cases} 3x^2+2y^2=11,\\ x+2y=3 \end{cases} \]
Из второго уравнения: \(x=3-2y\). Подставим в первое:
\[ 3(3-2y)^2+2y^2=11 \]
\[ 14y^2-36y+16=0 \quad |:2 \]
\[ 7y^2-18y+8=0 \]
\[ D=(-18)^2-4\cdot7\cdot8=100 \]
\[ y_1=2,\qquad y_2=\frac{4}{7} \]
Тогда: \[ x_1=3-2\cdot2=-1,\qquad x_2=3-2\cdot\frac{4}{7}=\frac{13}{7}. \]
Ответ: \((-1;\,2)\), \(\left(\frac{13}{7};\,\frac{4}{7}\right)\).
Проверку обычно делают устно или на черновике. Если учитель требует проверку письменно — добавь её после ответа.
