Вершину C треугольника ABC соединили отрезками с точками на противоположной стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны?

Question

Реши

Расшифровка фото нейросетью:
ЗАДАНИЕ №3
Вершину $C$ треугольника $ABC$ соединили отрезками с точками на противоположной стороне.
[Рисунок: треугольник $ABC$ с вершиной $C$ вверху; на стороне $AB$ слева направо отмечены точки $A$, $K$, $P$, $R$, $B$; из $C$ проведены отрезки $CA$, $CK$, $CP$, $CR$, $CB$; четыре угла при вершине $C$ между соседними отрезками отмечены дугами.]
На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла.
Какие из следующих утверждений верны?
○ Отрезок $CR$ — биссектриса треугольника $PCB$
○ Отрезок $CP$ — биссектриса треугольника $ABC$
○ Отрезок $CK$ — биссектриса треугольника $ABC$
○ Отрезок $CP$ — биссектриса треугольника $K$[неразборчиво]
○ Отрезок $CR$ — биссектриса треугольника $KCB$

Answer

Краткий ответ: верны 1-е и 2-е утверждения — $CR$ является биссектрисой треугольника $PCB$, а $CP$ — биссектрисой треугольника $ABC$.

Ключевая идея. Четыре отмеченных угла при вершине $C$ равны; обозначим каждый через $\alpha$:

$$
\angle ACK=\angle KCP=\angle PCR=\angle RCB=\alpha.
$$

Лучи идут в порядке $CA,\,CK,\,CP,\,CR,\,CB$, поэтому угол между любыми двумя лучами — это сумма нескольких долей $\alpha$. Отрезок из вершины $C$ будет биссектрисой треугольника, только если он делит угол при вершине $C$ пополам, то есть слева и справа от него лежит одинаковое число долей $\alpha$.

Проверка вариантов.

1. $CR$ в треугольнике $PCB$: $\angle PCR=\alpha$ и $\angle RCB=\alpha$ — равны, значит $CR$ делит $\angle PCB$ пополам. Верно.

2. $CP$ в треугольнике $ABC$:
$$
\angle ACP=\angle ACK+\angle KCP=\alpha+\alpha=2\alpha,
$$
$$
\angle PCB=\angle PCR+\angle RCB=\alpha+\alpha=2\alpha.
$$
Части равны, то есть $CP$ — биссектриса угла $ACB$. Верно. (Проверка: $\angle ACB=4\alpha$, и $CP$ действительно делит его на $2\alpha$ и $2\alpha$.)

3. $CK$ в треугольнике $ABC$: $\angle ACK=\alpha$, а $\angle KCB=3\alpha$ — не равны. Неверно.

4. $CP$ в треугольнике $KCB$: $\angle KCP=\alpha$, а $\angle PCB=2\alpha$ — не равны. Неверно. (В этом пункте конец названия треугольника закрыт кнопкой «Печать»; если там на самом деле $KCR$, утверждение было бы верным, ведь $\angle KCP=\angle PCR=\alpha$.)

5. $CR$ в треугольнике $KCB$: $\angle KCR=2\alpha$, а $\angle RCB=\alpha$ — не равны. Неверно.

Вывод: верны утверждения 1 и 2.

Как действовать в похожем задании: разбей угол при вершине на равные доли, посчитай, сколько долей слева и справа от каждого отрезка, и выбирай те отрезки, где эти количества совпали.