В равнобедренном треугольнике ABC сторона AB = 2√3, AC = 4√2. Найдите длину биссектрисы угла B.

Краткий ответ: \(BK=2\).

На рисунке \(AB=BC\), значит, \(AC\) — основание равнобедренного треугольника. Биссектриса угла \(B\), проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Поэтому точка \(K\) — середина \(AC\):

\[ AK=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2. \]

Треугольник \(ABK\) прямоугольный, с гипотенузой \(AB\). По теореме Пифагора:

\[ BK=\sqrt{AB^2-AK^2} =\sqrt{(2\sqrt3)^2-(2\sqrt2)^2} =\sqrt{12-8} =\sqrt4 =2. \]

Проверка: \(2^2+(2\sqrt2)^2=4+8=12=(2\sqrt3)^2\), всё верно.