Хорда AB пересекает диаметр окружности CD в точке E. Найдите радиус окружности, если AE = 4, EB = 2,5, CE/ED = 2/5.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
16. Определение радиуса окружности

Хорда AB пересекает диаметр окружности CD в точке E. Найдите радиус окружности, если $AE = 4$, $EB = 2,5$, $\frac{CE}{ED} = \frac{2}{5}$.

[Рисунок: окружность; диаметр CD расположен горизонтально, точки C и D лежат на окружности слева и справа; хорда AB проходит через точку E на диаметре CD; A — нижняя левая точка окружности, B — верхняя; E отмечена на диаметре между C и D.]

Answer

Радиус окружности равен $3{,}5$.

Ключевые шаги

1. Для двух хорд, пересекающихся в точке $E$, выполняется теорема о пересекающихся хордах:
$$
AE\cdot EB=CE\cdot ED.
$$

2. Подставляем данные:
$$
CE\cdot ED=4\cdot 2{,}5=10.
$$

3. Из условия $CE:ED=2:5$. Пусть
$$
CE=2x,\quad ED=5x.
$$
Тогда
$$
2x\cdot 5x=10,
$$
$$
10x^2=10,\quad x=1.
$$
Значит,
$$
CE=2,\quad ED=5.
$$

4. Так как $CD$ — диаметр и точка $E$ лежит между $C$ и $D$, то
$$
CD=CE+ED=2+5=7.
$$
Радиус:
$$
R=\frac{CD}{2}=\frac{7}{2}=3{,}5.
$$

Проверка: $CE\cdot ED=2\cdot5=10$, и $AE\cdot EB=4\cdot2{,}5=10$. Всё сходится.