Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны и равны 7 и 13.

Краткий ответ: площадь равна \(45{,}5\).

Почему так

Пусть диагонали \(AC=7\) и \(BD=13\) пересекаются в точке \(O\) под прямым углом. Они разбивают четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника:

\[ S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO,\quad S_{BOC}=\frac12 BO\cdot CO, \] \[ S_{COD}=\frac12 CO\cdot DO,\quad S_{DOA}=\frac12 DO\cdot AO. \]

Сложим площади и сгруппируем слагаемые:

\[ S=\frac12\left(AO\cdot BO+BO\cdot CO+CO\cdot DO+DO\cdot AO\right) \]

\[ S=\frac12\left(AO+CO\right)\left(BO+DO\right). \]

Но \(AO+CO=AC=7\), а \(BO+DO=BD=13\), поэтому

\[ S=\frac12\cdot 7\cdot 13=\frac{91}{2}=45{,}5. \]

Проверка. Для ромба с диагоналями \(7\) и \(13\) площадь тоже равна \(45{,}5\). Общая формула \(S=\frac12 d_1d_2\sin\varphi\) при \(\varphi=90^\circ\) даёт то же самое, так как \(\sin 90^\circ=1\).