Постройте график функции y = x² - 5x + 2 - 3·|x - 2|. Определите, при каких значениях a прямая y = a имеет с графиком ровно три общие точки.

Краткий ответ:
\[ a\in\{-5;-4\}. \]

1. Раскрываем модуль

\[ f(x)=x^2-5x+2-3|x-2|. \]

При \(x\le 2\):

\[ f(x)=x^2-5x+2-3(2-x) =x^2-2x-4=(x-1)^2-5. \]

При \(x\ge 2\):

\[ f(x)=x^2-5x+2-3(x-2) =x^2-8x+8=(x-4)^2-8. \]

Значит,

\[ f(x)= \begin{cases} (x-1)^2-5, & x\le 2,\\ (x-4)^2-8, & x\ge 2. \end{cases} \]

В точке \(x=2\) обе части дают \(y=-4\), поэтому график непрерывный.

2. Как выглядит график

• Левая часть — парабола с вершиной \((1;-5)\), берём её при \(x\le 2\).
• Правая часть — парабола с вершиной \((4;-8)\), берём её при \(x\ge 2\).
• Ветви соединяются в точке \((2;-4)\).

Ключевые значения функции:

\[ f(1)=-5,\qquad f(2)=-4,\qquad f(4)=-8. \]

3. Сколько точек пересечения с прямой \(y=a\)

Прямая \(y=a\) горизонтальная. Число её общих точек с графиком — это число решений уравнения \(f(x)=a\).

\[ \begin{array}{c|ccccccc} a & (-\infty,-8) & -8 & (-8,-5) & -5 & (-5,-4) & -4 & (-4,+\infty)\\ \hline \text{точек} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \end{array} \]

Ровно три точки получаются только при:

\[ a=-5 \quad \text{или} \quad a=-4. \]

Проверка

При \(a=-5\):

\[ (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1, \]

а справа:

\[ (x-4)^2=3 \Rightarrow x=4\pm\sqrt3. \]

Получаются три различные точки.

При \(a=-4\):

слева \(x=0,2\), справа \(x=2,6\). Точка \(x=2\) одна и та же, поэтому всего три точки: \(x=0,2,6\).

Ответ:
\[ \boxed{a=-5\ \text{или}\ a=-4} \]