Хорды AB и CD окружности пересекаются, при этом точки A и D лежат внутри дуги CB. Докажите, что, если AB = CD, то треугольники ABC и BCD равны.

Кратко: треугольники \(ABC\) и \(BCD\) равны по трём сторонам.

Доказательство

1. Так как точки \(A\) и \(D\) лежат на дуге \(CB\), а хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются, на этой дуге они расположены в порядке \[ C,\ A,\ D,\ B. \]

2. Обозначим дуги \(CA\), \(AD\), \(DB\) соответственно через \(x\), \(y\), \(z\).

3. Равные хорды стягивают равные дуги. Поэтому \[ AB=CD \quad\Rightarrow\quad \text{дуга }AB=\text{дуга }CD. \] Дуга \(AB\), проходящая через \(D\), имеет меру \(y+z\), а дуга \(CD\), проходящая через \(A\), — меру \(x+y\). Значит, \[ y+z=x+y, \] откуда \[ z=x. \]

4. Следовательно, дуги \(DB\) и \(CA\) равны. Тогда равны и стягивающие их хорды: \[ BD=AC. \]

5. В треугольниках \(ABC\) и \(BCD\): \[ AB=CD,\qquad BC\text{ — общая},\qquad AC=BD. \] По третьему признаку равенства треугольников \[ \triangle ABC\cong\triangle DCB. \] Значит, треугольники \(ABC\) и \(BCD\) равны.

Главная идея: равенство хорд переводится в равенство дуг, после чего из равных дуг \(AB\) и \(CD\) «вычитается» общая дуга \(AD\), поэтому оставшиеся дуги \(CA\) и \(DB\) тоже равны.