На фото две контрольные работы: «Вариант А1» и «Вариант А2», в каждой задания 1–6. Не указано, какой вариант и номер задания нужно решить.

Не могу разобрать условия варианта 2 на этом изображении — текст заданий не читается. Пришлите, пожалуйста, более чёткое фото именно варианта 2 (или перепишите условия заданий 1–6), и я решу все задания по порядку.

Вариант А2 — решения всех шести заданий

1. \(AC = 15\)

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, а плоскость \(ABC\) пересекает их по прямым \(AC\) и \(MN\), значит \(MN \parallel AC\). Тогда \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\), причём \(BA = BM + AM = 7 + 14 = 21\), коэффициент подобия \(k = \frac{BM}{BA} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}\). Отсюда \[ AC = \frac{MN}{k} = 5 \cdot 3 = 15. \]

2. \(A_1C_1 = 10\)

Точка \(O\) — середина \(AA_1\) и \(CC_1\), поэтому \(OA_1 = OA = 8\), \(OC_1 = OC = 6\). Лучи \(OA\) и \(OA_1\) противоположны, поэтому \(\angle A_1OC_1 = 180^\circ - \angle AOC_1 = 90^\circ\). По теореме Пифагора: \[ A_1C_1 = \sqrt{OA_1^2 + OC_1^2} = \sqrt{64+36} = 10. \]

3. \(S_{ABC} = 60\)

Отрезки \(PK\), \(KT\), \(TP\) — средние линии в треугольниках \(ABD\), \(BCD\), \(ACD\), то есть \(PK = \frac{AB}{2}\), \(KT = \frac{BC}{2}\), \(TP = \frac{CA}{2}\). Значит \(\triangle PKT \sim \triangle ABC\) с коэффициентом \(\frac{1}{2}\), а площади относятся как \(k^2 = \frac{1}{4}\): \[ S_{ABC} = 4 \cdot 15 = 60. \]

4. Доказательство

• \(AA_1B_1B\) — параллелограмм \(\Rightarrow AB \parallel A_1B_1\);
• \(AB_1C_1C\) — параллелограмм \(\Rightarrow AC \parallel B_1C_1\).

Прямые \(AB\) и \(AC\) пересекаются и лежат в плоскости \(ABC\); прямые \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) пересекаются и лежат в плоскости \(A_1B_1C_1\). Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, следовательно, \((ABC) \parallel (A_1B_1C_1)\).

5. \(A_1B_1 = 9\)

Отрезки \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) параллельны и равны (заключены между параллельными плоскостями), поэтому \(AA_1B_1B\) — параллелограмм и \(A_1B_1 = AB\). По теореме косинусов в \(\triangle ABC\): \[ AB^2 = 8^2 + 7^2 - 2\cdot 8\cdot 7 \cdot \frac{2}{7} = 64 + 49 - 32 = 81, \] \[ AB = 9, \quad A_1B_1 = 9. \]

6. \(CC_1 = 8\) см

Все четыре прямые параллельны одному направлению, поэтому \(A_1B_1C_1D_1\) — тоже параллелограмм (параллельное проектирование переводит параллелограмм в параллелограмм). Значит середины диагоналей \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) совпадают: \(A_1 + C_1 = B_1 + D_1\).

Пусть \(\vec e\) — единичный вектор общего направления, \(x\) — искомая длина: \[ \vec{AA_1}=4\vec e,\quad \vec{BB_1}=5\vec e,\quad \vec{DD_1}=7\vec e,\quad \vec{CC_1}=x\vec e. \] Так как в параллелограмме \(ABCD\) диагонали делятся пополам, \(A + C = B + D\). Подставляя \(A_1 = A + 4\vec e\) и т. д., получаем \[ 4 + x = 5 + 7 \;\Rightarrow\; x = 8. \] Ответ: \(CC_1 = 8\) см.

Если нужно, разберу подробнее любое из заданий — например, оформлю доказательство в задании 4 строго по шагам.