25. — Задумай двузначное число, — предложил учитель Сергею. — Умножь сумму его цифр на 11, затем отними задуманное число от полученного результата.

Кратко: Сергей задумал число \(52\).

Как рассуждал учитель

Пусть цифра десятков — \(a\), цифра единиц — \(b\). Тогда задуманное число:

\[ 10a+b, \]

а сумма его цифр:

\[ a+b. \]

После умножения суммы на \(11\) и вычитания задуманного числа получаем:

\[ 11(a+b)-(10a+b)=11a+11b-10a-b=a+10b. \]

Но \(a+10b\) — это то же число, записанное в обратном порядке: десятки \(b\), единицы \(a\). Значит, результат всегда равен «перевёрнутому» задуманному числу.

Получилось \(25\), значит, задуманное число — \(52\).

Проверка:

\[ 5+2=7,\qquad 7\cdot 11=77,\qquad 77-52=25. \]

Всё сходится.