16-17 толук чыгарылышы менен

Кыскача жооп

16.
а) \((-10;4)\), \((-32;-18)\);
б) \((4;0)\), \((12;16)\);
в) \((a;2a)\), \((2a;a)\);
г) \((4a;a)\), \((-a;-4a)\).

17.
а) \((\sqrt{10};\sqrt{10})\), \((-\sqrt{10};-\sqrt{10})\), \((4;2)\), \((-4;-2)\);
б) \((2;1)\), \((-2;-1)\);
в) \((2;4)\), \((-2;-4)\);
г) чыныгы сандарда чыгарылышы жок.

16 в жана г пункттарында \(a\) — параметр. \(a=0\) болгондо эки жазуу тең \((0;0)\) чечимин берет.

---

Толук чыгарылыш

16-көнүгүү

Бул жерде бир теңдеме сызыктуу, андан бир белгисизди туюнтуп, экинчи теңдемеге коёбуз.

16 а)

\[ y-x=14 \quad\Rightarrow\quad y=x+14. \]

Экинчи теңдемеге коёбуз:

\[ x^2-3(x+14)^2=52. \]

\[ x^2-3(x^2+28x+196)=52 \]

\[ -2x^2-84x-640=0 \]

\[ x^2+42x+320=0. \]

Дискриминант:

\[ D=42^2-4\cdot 320=1764-1280=484=22^2. \]

\[ x=\frac{-42\pm 22}{2}. \]

Демек:

\[ x_1=-10,\qquad x_2=-32. \]

Андан:

\[ y_1=-10+14=4,\qquad y_2=-32+14=-18. \]

Жооп: \((-10;4)\), \((-32;-18)\).

---

16 б)

\[ 2x-y=8 \quad\Rightarrow\quad y=2x-8. \]

Коёбуз:

\[ 2x^2-(2x-8)^2=32. \]

\[ 2x^2-(4x^2-32x+64)=32 \]

\[ -2x^2+32x-96=0 \]

\[ x^2-16x+48=0. \]

\[ D=16^2-4\cdot 48=256-192=64=8^2. \]

\[ x=\frac{16\pm 8}{2}. \]

\[ x_1=12,\qquad x_2=4. \]

Андан:

\[ y_1=2\cdot 12-8=16,\qquad y_2=2\cdot 4-8=0. \]

Жооп: \((12;16)\), \((4;0)\).

---

16 в)

\[ \begin{cases} x+y=3a,\\ xy=2a^2. \end{cases} \]

\(x\) жана \(y\) — суммасы \(3a\), көбөйтүндүсү \(2a^2\) болгон сандар. Виет боюнча алар төмөнкү теңдеменин тамырлары:

\[ t^2-3at+2a^2=0. \]

\[ t^2-3at+2a^2=(t-a)(t-2a). \]

Демек \(t=a\) же \(t=2a\). Ошондуктан \(x\) жана \(y\) сандары \(a\) жана \(2a\) болуп бөлүнөт.

Жооп: \((a;2a)\), \((2a;a)\).

---

16 г)

\[ x-y=3a \quad\Rightarrow\quad x=y+3a. \]

Экинчи теңдемеге коёбуз:

\[ (y+3a)y=4a^2. \]

\[ y^2+3ay-4a^2=0. \]

\[ y^2+3ay-4a^2=(y+4a)(y-a)=0. \]

Демек:

\[ y=-4a \quad\text{же}\quad y=a. \]

Андан:

• \(y=-4a\) болсо, \(x=-4a+3a=-a\);
• \(y=a\) болсо, \(x=a+3a=4a\).

Жооп: \((-a;-4a)\), \((4a;a)\).

---

17-көнүгүү

Бул системаларда биринчи теңдеме бир тектүү квадраттык туюнтма. Аны көбөйтүүчүлөргө ажыратып, чыккан эки учурду экинчи теңдемеге коёбуз.

17 а)

\[ x^2-3xy+2y^2=0. \]

\[ x^2-3xy+2y^2=(x-y)(x-2y). \]

Демек:

\[ x=y \quad\text{же}\quad x=2y. \]

1. \(x=y\):

\[ y^2+y^2=20 \]

\[ 2y^2=20 \]

\[ y^2=10 \]

\[ y=\pm\sqrt{10}. \]

Ошондуктан \((x;y)=(\sqrt{10};\sqrt{10})\) жана \((-\sqrt{10};-\sqrt{10})\).

2. \(x=2y\):

\[ (2y)^2+y^2=20 \]

\[ 4y^2+y^2=20 \]

\[ 5y^2=20 \]

\[ y^2=4 \]

\[ y=\pm 2. \]

Андан \(x=2y=\pm 4\).

Жооп: \((\sqrt{10};\sqrt{10})\), \((-\sqrt{10};-\sqrt{10})\), \((4;2)\), \((-4;-2)\).

---

17 б)

\[ x^2+xy-6y^2=0. \]

\[ x^2+xy-6y^2=(x+3y)(x-2y). \]

Демек:

\[ x=-3y \quad\text{же}\quad x=2y. \]

1. \(x=-3y\):

\[ x^2-5xy+2y^2=-4. \]

\[ 9y^2+15y^2+2y^2=-4 \]

\[ 26y^2=-4. \]

Бул чыныгы \(y\) үчүн мүмкүн эмес, анткени \(26y^2\ge 0\). Бул учурда чыгарылыш жок.

2. \(x=2y\):

\[ (2y)^2-5(2y)y+2y^2=-4 \]

\[ 4y^2-10y^2+2y^2=-4 \]

\[ -4y^2=-4 \]

\[ y^2=1 \]

\[ y=\pm 1. \]

Андан \(x=2y=\pm 2\).

Жооп: \((2;1)\), \((-2;-1)\).

---

17 в)

\[ 2x^2-3xy+y^2=0. \]

\[ 2x^2-3xy+y^2=(2x-y)(x-y). \]

Демек:

\[ y=2x \quad\text{же}\quad y=x. \]

1. \(y=x\):

\[ y^2-x^2=x^2-x^2=0\neq 12. \]

Бул учурда чыгарылыш жок.

2. \(y=2x\):

\[ (2x)^2-x^2=12 \]

\[ 4x^2-x^2=12 \]

\[ 3x^2=12 \]

\[ x^2=4 \]

\[ x=\pm 2. \]

Андан \(y=2x=\pm 4\).

Жооп: \((2;4)\), \((-2;-4)\).

---

17 г)

\[ x^2-xy+5y^2=0. \]

Толук квадратка ажыратабыз:

\[ x^2-xy+5y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{19}{4}y^2. \]

Квадраттардын суммасы нөлгө барабар болушу үчүн ар бир квадрат нөлгө барабар болушу керек:

\[ x-\frac{y}{2}=0,\qquad \frac{19}{4}y^2=0. \]

Андан \(y=0\), анан \(x=0\). Бирок экинчи теңдемеге койсок:

\[ 3x^2+2xy+7y^2=9 \]

\[ 0=9, \]

бул туура эмес. Демек чыныгы сандарда чыгарылыш жок.

Жооп: чыныгы сандарда чыгарылышы жок.

---

Текшерүү

Мисалы, 16 а) боюнча \((-10;4)\):

\[ (-10)^2-3\cdot 4^2=100-48=52, \]

\[ 4-(-10)=14. \]

17 а) боюнча \((4;2)\):

\[ 4^2-3\cdot 4\cdot 2+2\cdot 2^2=16-24+8=0, \]

\[ 4^2+2^2=20. \]

Калган жуптар да баштапкы системага коюу менен текшерилет.