объясни сечение и как его строить

Коротко

Сечение многогранника плоскостью — это многоугольник, состоящий из всех точек, которые лежат одновременно и в многограннике, и в секущей плоскости. Его вершины лежат на рёбрах, а стороны — на гранях: каждая грань, которую плоскость пересекает, даёт ровно один отрезок.

Правила, на которых держится построение

1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то отрезок между ними — сторона сечения (плоскость пересекает грань по прямой).
2. Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны: в кубе или призме отрезки в верхнем и нижнем основаниях параллельны.
3. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань, и подходящая прямая этой грани пересекаются в точке, принадлежащей обеим плоскостям, — через неё удобно «переходить» в соседнюю грань.

Алгоритм (метод следов)

• Шаг 1. Найди две точки в одной грани — соедини их.
• Шаг 2. Продолжи этот отрезок до пересечения с продолжением ребра или другой прямой той же грани — получишь точку, лежащую уже в плоскости соседней грани.
• Шаг 3. Через эту точку и следующую известную точку проведи прямую — она даст новую вершину на ребре.
• Шаг 4. Повторяй, пока сечение не замкнётся. Каждую сторону проверяй: её концы обязаны лежать в одной грани.

Пример

Куб \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) с ребром \(a\). Строим сечение плоскостью \((AB_{1}C)\).

• \(A\) и \(B_{1}\) лежат в грани \(ABB_{1}A_{1}\) → отрезок \(AB_{1}\);
• \(B_{1}\) и \(C\) — в грани \(BCC_{1}B_{1}\) → отрезок \(B_{1}C\);
• \(C\) и \(A\) — в грани \(ABCD\) → отрезок \(CA\).

Сечение замкнулось, других рёбер плоскость не задевает — значит, это треугольник \(AB_{1}C\).

Проверка. \(AC\), \(AB_{1}\), \(B_{1}C\) — диагонали трёх равных квадратов со стороной \(a\), каждая равна \(a\sqrt{2}\). Треугольник равносторонний, и

\[ S=\frac{\sqrt{3}}{4}\,(a\sqrt{2})^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}. \]

Где работает правило параллельности

Тот же куб: \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(AD\), \(K\) — середина \(A_{1}B_{1}\). В основании получаем отрезок \(MN\); в параллельном верхнем основании плоскость даёт отрезок через \(K\), параллельный \(MN\), — он приходит в середину \(A_{1}D_{1}\) (точка \(P\)). Соединяем \(M\) с \(K\) (грань \(ABB_{1}A_{1}\)) и \(N\) с \(P\) (грань \(ADD_{1}A_{1}\)).

Получился прямоугольник \(MKPN\) со сторонами \(a\) и \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) — отрезки \(MN\) и \(KP\) параллельны именно из-за параллельности оснований.

Самопроверка

• сечение — плоский замкнутый многоугольник, все вершины на рёбрах;
• число сторон не больше числа граней (у куба максимум шестиугольник — например, правильный шестиугольник через середины шести рёбер, он перпендикулярен диагонали куба);
• стороны, попавшие в параллельные грани, обязаны быть параллельны;
• если плоскость проходит через вершину, вершина сечения совпадает с ней.