Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого внутренние углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних углов равна 510 градусов?

Ответ: 12 сторон.

1. У любого выпуклого \(n\)-угольника сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна \(360^\circ\).

2. Пусть внутренний угол равен \(\alpha\). По условию: \[ 360^\circ+\alpha=510^\circ, \] значит, \[ \alpha=150^\circ. \]

3. Сумма внутренних углов \(n\)-угольника: \[ (n-2)\cdot180^\circ. \] Так как все внутренние углы равны, то \[ n\alpha=(n-2)\cdot180^\circ. \] Подставляем \(\alpha=150^\circ\): \[ 150n=180(n-2), \] \[ 150n=180n-360, \] \[ 30n=360, \] \[ n=12. \]

Проверка: у правильного 12-угольника внутренний угол равен \(150^\circ\), внешний — \(30^\circ\). Сумма внешних углов: \(12\cdot30^\circ=360^\circ\), тогда \(360^\circ+150^\circ=510^\circ\). Всё сходится.