Реши (x+7)(x-6)
Кратко: если нужно раскрыть скобки, то
\[ (x+7)(x-6)=x^2+x-42. \]
Если имелось в виду уравнение \((x+7)(x-6)=0\), то
\[ x=-7 \quad \text{или} \quad x=6. \]
Как раскрыть скобки:
Умножаем каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй: \[ (x+7)(x-6)=x\cdot x+x\cdot(-6)+7\cdot x+7\cdot(-6). \]
Получаем: \[ x^2-6x+7x-42. \]
Приводим подобные \(-6x+7x=x\): \[ x^2+x-42. \]
Проверка: при \(x=0\) слева \(7\cdot(-6)=-42\), справа \(-42\). Всё сходится.
Почему корни \(-7\) и \(6\): произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x+7=0 \Rightarrow x=-7, \] \[ x-6=0 \Rightarrow x=6. \]
Обсуждение
4 сообщения(x+7)(x-6)=0
\[ (x+7)(x-6)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\[ x+7=0 \quad \text{или} \quad x-6=0 \]
\[ x=-7 \quad \text{или} \quad x=6 \]
Ответ: \(x=-7\) или \(x=6\).
Проверка:
- при \(x=-7\): \((-7+7)(-7-6)=0\cdot(-13)=0\) ✓
- при \(x=6\): \((6+7)(6-6)=13\cdot0=0\) ✓
Принцип: так решается любое уравнение вида «произведение множителей равно нулю» — каждый множитель приравниваем к нулю и решаем получившиеся простые уравнения.
(x+7)(x-6)<0
\[ (x+7)(x-6)<0 \]
Ответ: \(x\in(-7;\,6)\), то есть \(-7<x<6\).
Решение методом интервалов:
Находим нули множителей: \[ x+7=0 \Rightarrow x=-7,\qquad x-6=0 \Rightarrow x=6. \]
Отмечаем точки \(-7\) и \(6\) на числовой прямой. Они выколотые, потому что неравенство строгое (\(<\), а не \(\le\)).
Определяем знак произведения на каждом промежутке:
| Промежуток | \(x+7\) | \(x-6\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \(x<-7\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(-7<x<6\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x>6\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
- Нам нужен знак «минус», значит берём средний промежуток: \[ x\in(-7;\,6). \]
Почему так: график \(y=x^2+x-42\) — парабола ветвями вверх, она пересекает ось \(x\) в точках \(-7\) и \(6\), а ниже оси находится между ними.
Проверка: возьмём \(x=0\) из промежутка: \((0+7)(0-6)=7\cdot(-6)=-42<0\) ✓. А точка вне промежутка, например \(x=10\): \(17\cdot4=68>0\) ✗ — значит, она не подходит.
Тот же принцип: находим нули, отмечаем выколотые/закрашенные точки (строгое или нестрогое неравенство) и выбираем промежутки с нужным знаком.
