544 и 546

Question

544 и 546

Расшифровка фото нейросетью:
544 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны AE и DE пересекают отрезок BC в точках M и N, причём точка M — середина отрезка AE. Докажите, что $S_{ABCD}=S_{ADE}$.

546 Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см²; б) 2,25 дм²; в) 12 м².

Answer

Краткий ответ

544. $S_{ABCD}=S_{ADE}$.

546.
а) $4$ см;
б) $1{,}5$ дм (или $15$ см);
в) $2\sqrt3$ м ($\approx 3{,}46$ м).

544. Почему площади равны

Пусть $h$ — высота прямоугольника, то есть расстояние между $AD$ и $BC$. Так как $M\in BC$, расстояние от $M$ до $AD$ тоже равно $h$. Поэтому

$$
S_{ADM}=\frac12 AD\cdot h.
$$

Точка $M$ — середина $AE$, значит,

$$
AM=\frac12 AE.
$$

У треугольников $ADM$ и $ADE$ общая вершина $D$, а основания $AM$ и $AE$ лежат на одной прямой, поэтому их площади относятся как основания:

$$
S_{ADM}=\frac12 S_{ADE}.
$$

Отсюда

$$
S_{ADE}=2S_{ADM}=2\cdot \frac12 AD\cdot h=AD\cdot h.
$$

Но площадь прямоугольника

$$
S_{ABCD}=AD\cdot h.
$$

Значит,

$$
S_{ABCD}=S_{ADE}.
$$

Точка $N$ в этом доказательстве не нужна — для равенства площадей достаточно, что $M$ лежит на $BC$ и является серединой $AE$.

546. Как находить сторону квадрата

У квадрата площадь считается по формуле

$$
S=a^2,
$$

где $a$ — сторона. Поэтому

$$
a=\sqrt S
$$

и берём положительный корень, так как длина стороны не может быть отрицательной.

а)
$$
a=\sqrt{16}=4\text{ см}.
$$

б)
$$
a=\sqrt{2{,}25}=1{,}5\text{ дм}.
$$
Это $15$ см.

в)
$$
a=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3\text{ м}.
$$
Примерно $3{,}46$ м.

Проверка:
$4^2=16$,
$1{,}5^2=2{,}25$,
$(2\sqrt3)^2=12$.

544 и 546

Обсуждение