Реши номер 490,493

Оформляю по данным, которые разбирали в предыдущем ответе.

№ 490

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\),
\(\angle A = 36^\circ\), \(\angle C = 117^\circ\).

Найти:
\(\angle B\), \(\angle D\).

Решение:

1. Так как \(AD \parallel BC\), а \(AB\) — секущая, углы \(\angle A\) и \(\angle B\) являются внутренними односторонними. Их сумма равна \(180^\circ\): \[ \angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ. \]

2. Аналогично \(AD \parallel BC\), а \(CD\) — секущая, поэтому \(\angle C\) и \(\angle D\) — внутренние односторонние: \[ \angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ. \]

3. Проверка суммы углов трапеции: \[ 36^\circ + 144^\circ + 117^\circ + 63^\circ = 360^\circ. \]

Ответ:
\[ \angle B = 144^\circ,\qquad \angle D = 63^\circ. \]

№ 493

Дано:
\(ABCD\) — равнобедренная трапеция,
один из углов равен \(68^\circ\).

Найти:
остальные углы.

Решение:

1. Угол \(68^\circ\) острый, значит, он находится при большем основании. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому второй угол при том же основании тоже равен \(68^\circ\).

2. Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, в сумме дают \(180^\circ\). Поэтому каждый из двух других углов: \[ 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ. \]

3. Проверка: \[ 68^\circ + 68^\circ + 112^\circ + 112^\circ = 360^\circ. \]

Ответ:
\[ 68^\circ,\quad 112^\circ,\quad 112^\circ. \]

Если в учебнике другие буквенные обозначения или числовые данные, пришли фото условия — пересчитаю под него.

Хорошо, распишу подробнее — с обоснованием каждого шага.

№ 490

Дано:
\(ABCD\) — трапеция,
\(AD \parallel BC\) — основания,
\(\angle A = 36^\circ\), \(\angle C = 117^\circ\).

Найти:
\(\angle B\), \(\angle D\).

Решение:

1. В трапеции \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны. Рассмотрим секущую \(AB\). Углы \(\angle A\) и \(\angle B\) — внутренние односторонние при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\). По свойству внутренних односторонних углов их сумма равна \(180^\circ\): \[ \angle A + \angle B = 180^\circ. \] Отсюда \[ \angle B = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ. \]

2. Теперь возьмём секущую \(CD\). Углы \(\angle C\) и \(\angle D\) тоже внутренние односторонние при \(AD \parallel BC\), поэтому \[ \angle C + \angle D = 180^\circ, \] \[ \angle D = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ. \]

3. Проверка по сумме углов четырёхугольника (она равна \(360^\circ\)): \[ 36^\circ + 144^\circ + 117^\circ + 63^\circ = 360^\circ. \] Всё сходится.

Ответ: \(\angle B = 144^\circ\), \(\angle D = 63^\circ\).

Что важно запомнить: в трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают \(180^\circ\). Это прямое следствие параллельности оснований.

№ 493

Дано:
\(ABCD\) — равнобедренная трапеция,
\(AD \parallel BC\), \(AB = CD\),
один из углов равен \(68^\circ\).

Найти:
остальные три угла.

Решение:

1. Сначала выясним, к какому основанию прилежит угол \(68^\circ\). Угол \(68^\circ\) острый, а у равнобедренной трапеции острыми бывают углы при большем основании (при меньшем основании углы тупые). Значит, это угол при большем основании.

2. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому второй угол при большем основании тоже равен \(68^\circ\).

3. Углы \(\angle A\) и \(\angle B\) прилежат к боковой стороне \(AB\), значит, они внутренние односторонние при \(AD \parallel BC\): \[ \angle A + \angle B = 180^\circ. \] Отсюда угол при меньшем основании: \[ 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ. \]

4. Второй угол при меньшем основании тоже равен \(112^\circ\) (свойство равнобедренной трапеции).

5. Проверка: \[ 68^\circ + 68^\circ + 112^\circ + 112^\circ = 360^\circ. \]

Ответ: остальные углы равны \(68^\circ\), \(112^\circ\), \(112^\circ\).

Почему углы при основании равны (кратко): опустим из вершин \(B\) и \(C\) высоты \(BK\) и \(CM\) на \(AD\). Получаем два прямоугольных треугольника \(ABK\) и \(DCM\). У них \(AB = CD\) (боковые стороны равнобедренной трапеции) и \(BK = CM\) (высоты между параллельными прямыми). Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету, откуда \(\angle A = \angle D\). А из параллельности оснований \(\angle A + \angle B = 180^\circ\) и \(\angle D + \angle C = 180^\circ\), поэтому \(\angle B = \angle C\).

Если нужно, могу добавить рисунок словами (где какие углы) или решить ещё похожую задачу для тренировки.